C4-Codificador

Algunas cuestiones sobre el diseño del codificador

El diseño del codificador en un sistema digital de comunicaciones consiste en la elección de la constelación del sistema (representación vectorial de las señales que se utilizarán para transmitir los distintos símbolos) y en la realización de la asignación binaria (asignar el conjunto de bits que transportará cada símbolo).

La elección de la constelación determina el compromiso entre prestaciones (probabilidades de error de símbolo y de bit) y consumo de energía (energía asociada a cada símbolo y energía media por símbolo transmitido, E_s). Son por tanto estos dos factores los que hay que considerar fundamentalmente en el diseño del mismo.

Conviene recordar que las prestaciones dependen fundamentalmente de las distancias entre los puntos (representación vectorial de las señales) de la constelación, y en particular, de la mínima distancia entre dos símbolos. Por otro lado, la energía asociada a un símbolo (y a la señal que se utiliza para transmitirlo) está dada por la norma al cuadrado de su representación vectorial (que se corresponde a la distancia al cuadrado del vector al origen de coordenadas). Esto hace que el problema del diseño óptimo de una constelación en el sentido de tener el mejor compromiso entre prestaciones y consumo de energía se pueda plantear como un problema de empaquetado de esferas en un espacio N-dimensional, de donde dicha metodología recibe el nombre de técnica de empaquetado de esferas.

A continuación se realizan distintas preguntas sobre la técnica de empaquetado de esferas para el diseño de la constelación, y sobre la asignación binaria sobre los símbolos de la constelación.

Explique brevemente en qué consiste la técnica de empaquetado de esferas para el diseño de una constelación optima en un espacio genérico N-dimensional.

Solution:

La base de esta técnica es el modelado de un símbolo como una esfera, centrada en la representación vectorial del símbolo, y cuyo diámetro es la mínima distancia entre símbolos, d_min, que garantice unas mínimas prestaciones. Dos esferas de este tipo que estén en contacto tendrán sus centros separados precisamente d_min. Por tanto, utilizando este modelo de esferas, dos símbolos nunca podrán tener una distancia menor que la del diámetro de la esfera que los modela.

Como la energía está relacionada con la distancia de los símbolos al origen de coordenadas, el problema de diseño se puede plantear como el problema de poner M esferas en el espacio N-dimensional, empaquetadas en el menor volumen posible y cerca del origen de coordenadas, de forma que manteniendo una mínima distancia entre símbolos tengan la mínima energía media por símbolo.

En la técnica de empaquetado de esferas, ¿es relevante o irrelevante el punto medio de la constelación, en cuanto al compromiso entre prestaciones y uso de energía?

Solution:

Es relevante, ya que el valor medio de la constelación, para minimizar la energía media de la misma, ha de ser nulo, y este es un requerimiento del diseño óptimo de una constelación para tener el mejor compromiso posible entre prestaciones y energía: el valor medio de las representaciones vectoriales de los símbolos ha de ser el vector nulo (de dimensión N).

Si la media de la constelación no es nula, la generación de ese valor medio supondrá un valor adicional de energía sin que se modifiquen las prestaciones (si no cambia la relación de distancias entre los símbolos al modificar la media).

Explique cómo son las constelaciones óptimas resultantes de la aplicación de la técnica de empaquetado de esferas en espacios unidimensionales.

Solution:

En este caso, las constelaciones son constelaciones de puntos equiespaciados (siendo la distancia entre puntos consecutivos la mínima distancia de la constelación, d_min) y centrados en el origen, lo que da lugar a coordenadas que son múltiplos impares de la distancia mínima partida por dos. Es decir, que las coordenadas de los símbolos en una constelación de M símbolos son

Es decir, más menos números impares por la distancia mínima partida por dos, hasta llegar al impar M-1.

Un ejemplo de este tipo de constelación para M=4 sería la de la figura

y en el caso de M=8 la constelación sería la siguiente

Explique cómo son las constelaciones óptimas resultantes de la aplicación de la técnica de empaquetado de esferas en espacios bidimensionales.

Solution:

En espacios bidimensionales, la configuración que permite empaquetar esferas 2-D en una superficie mínima da lugar a estructuras hexagonales, en las que cada una de las esferas está rodeada por todos lados de esferas a mínima distancia. En la figura se ilustra este tipo de configuración para un ejemplo de M=32 símbolos, y se compara con una agrupación siguiendo una estructura rectangular, y claramente se ve que la estructura hexagonal es más eficiente (ocupa menos superficie, ya que deja menos espacio libre entre esferas).

El diseño del codificador afecta a la velocidad de transmisión binario del sistema. Explique de qué parámetro del diseño del codificador depende esta velocidad de transmisión.

Solution:

Depende del tamaño de la constelación, es decir, del número de símbolos de la misma, M, ya que esto determina el número de bits por símbolo de la constelación, m, y la tasa de transmisión binaria es el resultado de multiplicar la tasa de transmisión de símbolo por el número de bits por símbolo

R_b = m R_s

La asignación binaria consiste en asociar cada símbolo con un conjunto específico de bits (cada símbolo transportará cada una de las posibles combinaciones de m-bits). Indiqué cuál es la metodología de asignación que permite obtener las mejores prestaciones en cuanto a probabilidad de error de bit.

Solution:

La probabilidad de error de bit se minimiza si en la asignación binaria se utiliza la denominada técnica de codificación de Gray. Esta técnica consiste en realizar la asignación binaria de tal modo que la asignación hecha a símbolos que están a mínima distancia difiere únicamente en un bit. De esta forma, cuando se produce a nivel de símbolo el tipo de error más probables, que es precisamente entre símbolos que están a mínima distancia, este tipo de error a nivel de símbolo se traduce en un único error a nivel de bit sobre los m bits que contiene el símbolo.

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