Algunas preguntas relacionadas con la representación vectorial de las señales
La representación vectorial de las señales facilita la tarea del diseño y análisis de un sistema digital de comunicaciones. Esta representación permite que una señal esté representada por un vector N-dimensional relacionado con una base ortonormal de N señales, tal y como se muestra a continuación
A continuación se plantean algunas cuestiones relacionadas con esta representación.
El producto escalar definido en un espacio de Hilbert juega un papel determinante en la representación vectorial de las señales, ya que la elección del mismo determina entre otras cosas la relación de la representación vectorial con la energía de las señales. ¿Cuál es la definición de producto escalar más apropiada para la representación de señales de energía en tiempo continuo y en tiempo discreto?
El producto escalar utilizado para las señales de energía es la integral del producto de la primera de las señales por el complejo conjugado (en el caso de señales complejas) de la segunda para el caso de señales en tiempo continuo. En tiempo discreto se sustituye la integral por el sumatorio, tal y como se muestra en las siguientes expresiones
Con esta definición de producto escalar, ¿cómo se relaciona la energía de una señal con su representación vectorial? O dicho de otro modo, ¿cómo se puede obtener la energía de una señal a partir de su representación vectorial?
Una de las ventajas de la elección de ese producto escalar es que la energía de la señal es igual a la norma al cuadrado de su representación vectorial, por lo que la energía se calcula obteniendo dicha norma al cuadrado (suma de coordenadas de la representación al cuadrado)
En la representación vectorial, ¿qué significado tiene la distancia entre la representación vectorial de dos señales en términos del parecido entre ambas señales? O en otras palabras, ¿qué medida sobre las señales en tiempo continuo cuantifica la distancia entre la representación vectorial de dos señales?
La distancia entre dos vectores viene dada por la norma del vector diferencia, por lo que la distancia es la norma del vector diferencia de la representación vectorial de las dos señales, lo que significa la raíz cuadrada de la energía de la señal diferencia entre ambas señales, es decir
Dada la base ortonormal de N señales que define un cierto espacio de señales, ¿cómo se obtienen las coordenadas de la representación vectorial de una cierta señal sobre dicha base?
Las coordenadas de la representación vectorial se obtienen mediante el producto escalar. La coordenada asociada a cada elemento de la base se obtiene mediante el producto escalar de la señal con ese elemento de la base ortonormal
¿Qué condiciones han de cumplir las N funciones que definen la base ortonormal de un espacio de M señales para poder ser consideradas como una base ortonormal válida?
Para que un conjunto de señales o en general de cualquier tipo de vectores de un espacio vectorial puedan considerarse una base ortonormal válida, deben cumplir dos condiciones: por un lado tienen que ser señales ortonormales, lo que significa que el producto escalar entre dos señales distintas ha de ser nulo, y que además cada una de ellas tiene que estar normalizada, lo que significa que el producto escalar de cada señal consigo misma (energía de la señal) ha de ser uno; y por otro lado, esas N señales han de permitir la expansión de las M señales que constituyen el espacio (deben permitir una representación exacta de cada señal como una expansión sobre los N elementos de la base).
En formulación matemática, las señales por un lado deben cumplir que
Y por otro lado deben permitir que cada una de las M señales del espacio se pueda escribir como una expansión sobre los elementos de la base con sus correspondientes coordenadas como coeficientes de la expansión
Algunas preguntas relacionadas con la representación vectorial de las señales
