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Ejemplo 10.2: Seguridad del protocolo BB84

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Imaginemos que en el instante $i$, Alice ha generado los bits de clave $a_i=1$ y $b_i=1$, y por tanto, ha codificado el estado $\rho_A^{(i)} = \Pi_{-}$.

import numpy as np

# Definimos las bases de medida
Pi0 = np.array([[1,0],[0,0]])
Pi1 = np.array([[0,0],[0,1]])
Pip = np.array([[+1,+1],[+1,+1]])/2
Pim = np.array([[+1,-1],[-1,+1]])/2

# Y el estado inicial para a_i = b_i = 1
rhoAi = Pim
print('rhoAi =\n', rhoAi)

rhoAi =
 [[ 0.5 -0.5]
 [-0.5  0.5]]

Eve conoce el esquema de codificación, pero no conoce el valor de $a_i$ ni de $b_i$, así que escoje una base al azar para realizar una medida con resultado $e_i$:

• Si Eve aplica el POVM $\{\Pi_{0}, \Pi_{1}\}$, entonces $\Pr\bigl\{E_i\!=\!0\bigr\} = \Pr\bigl\{E_i\!=\!1\bigr\} = \frac{1}{2}$ y el estado pasa a ser: \begin{align*} \rho_E^{(i)} = \begin{cases}

       \Pi_{0}, & e_i=0,\\
       \Pi_{1}, & e_i=1.
   \end{cases}
  

  \end{align*}

Pr_ei_0 = np.trace(Pi0 @ rhoA_i)
Pr_ei_1 = np.trace(Pi1 @ rhoA_i)
print('Pr_ei_0 =', Pr_ei_0, '\nPr_ei_1 =', Pr_ei_1)

rhoEi_0 = Pi0 @ rhoA_i@ Pi0.conj().T / Pr_ei_0
rhoEi_1 = Pi1 @ rhoA_i @ Pi1.conj().T / Pr_ei_1
print('rhoEi_0 =\n', rhoEi_0, '\nrhoEi_1 =\n', rhoEi_1)

Pr_ei_0 = 0.5 
Pr_ei_1 = 0.5
rhoEi_0 =
 [[1. 0.]
 [0. 0.]] 
rhoEi_1 =
 [[0. 0.]
 [0. 1.]]

• Si Eve aplica el POVM correcto $\{\Pi_{+}, \Pi_{-}\}$, entonces $\Pr\bigl\{E_i\!=\!1\bigr\} = 1$ y la medida siempre resulta en el bit correcto $e_i=1$. Por tanto, el estado colapsado pasa a ser $\rho_E^{(i)} = \rho_A^{(i)} = \Pi_{-}$.

Pr_ei_p = np.trace(Pip @ rhoA_i)
Pr_ei_m = np.trace(Pim @ rhoA_i)
print('Pr_ei_p =', Pr_ei_p, '\nPr_ei_m =', Pr_ei_m)

rhoEi_m = Pim @ rhoA_i@ Pim.conj().T / Pr_ei_m
print('rhoEi_m =\n', rhoEi_0)

Pr_ei_p = 0.0 
Pr_ei_m = 1.0
rhoEi_m =
 [[1. 0.]
 [0. 0.]]

En el segundo caso, Eve puede transmitir el estado $\rho_E^{(i)}$ a Bob y la intrusión permanecería indetectada, ya que $\rho_E^{(i)} = \rho_A^{(i)}$. Sin embargo, en el primer caso tenemos que $\rho_E^{(i)} \neq \rho_A^{(i)}$. Si Eve transmite este estado $\rho_E^{(i)}$ a Bob y éste realiza su medida en la base $\{\Pi_{+}, \Pi_{-}\}$, entonces obtendrá un resultado $\Pr\bigl\{\hat{A}_i = 0\bigr\} = \Pr\bigl\{\hat{A}_i = 1\bigr\} = \frac{1}{2}$ independientemente del valor de $e_i$.

# Medida en Bob cuando Eve utiliza la base {Pi0, Pi1} y Bob aplica la base {Pip, Pim}
ei = 0
Pr_hat_0 = np.trace(Pip @ rhoEi_0)
Pr_hat_1 = np.trace(Pim @ rhoEi_0)
print('\nei = ', ei, '\nPr_hat_0 =', Pr_hat_0, '\nPr_hat_1 =', Pr_hat_1)

ei = 1
Pr_hat_0 = np.trace(Pip @ rhoEi_1)
Pr_hat_1 = np.trace(Pim @ rhoEi_1)
print('\nei = ', ei, '\nPr_hat_0 =', Pr_hat_0, '\nPr_hat_1 =', Pr_hat_1)

ei =  0 
Pr_hat_0 = 0.5 
Pr_hat_1 = 0.5

ei =  1 
Pr_hat_0 = 0.5 
Pr_hat_1 = 0.5

Concluimos que en las posiciones donde Eve se ha equivocado en la base de medida, ya no se tiene por qué cumplir $a_i=\hat{a}_i$, aunque coincidan las secuencias $b_i=c_i$.