$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Modelamos un fotón con polarización lineal $\theta$ con el estado puro $\ket{\theta} = \bigl[\begin{smallmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{smallmatrix}\bigr]$.
Consideremos un experimento que genera un fotón con una polarización bien $\ket{\pi/3}$ o $\ket{\pi/4}$, pero desconocemos cuál de ellas. Si las dos polarizaciones tienen la misma probabilidad, el estado resultante se corresponde con la mezcla probabilística de las matrices de densidad de cada posibilidad: \begin{align*} \rho = \frac{1}{2} \ket{\pi/3} \bra{\pi/3} + \frac{1}{2} \ket{\pi/4} \bra{\pi/4}. \end{align*}
% Definimos una función que devuelve la matriz de densidad de probabilidad de este fotón
function [rho] = foton(theta)
ket_theta = [cos(theta); sin(theta)];
rho = ket_theta * ket_theta';
end
rho = 1/2*foton(pi/3) + 1/2*foton(pi/4)
rho = 0.3750 0.4665 0.4665 0.6250
Se puede comprobar que $\rho$ cumple las propiedades de una matriz de densidad de un sistema cuántico: $\rho\succeq 0$, $\rho=\rho^H$ y $\text{Tr}[\rho]=1$.
autovalores_rho = eigs(rho)
if(isequal(rho,rho')), printf('rho es autohermitica\n') else printf('rho no es autohermitica\n') end
traza_rho = trace(rho)
autovalores_rho = 0.982963 0.017037 rho es autohermitica traza_rho = 1
Además en este caso, el estado resultante es un estado mixto, ya que el rango de $\rho$ es igual a $2 > 1$.
% Calculamos su rango con el comando:
rango_rho = rank(rho)
rango_rho = 2