Ejemplo 4.1: Un sobre cerrado¶
$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}$En un sobre se introduce aleatoriamente un disco de color blanco o negro con una cierta probabilidad. El sobre se cierra a continuación sin conocer cuál es su contenido:
Como inicialmente no conocemos qué hay dentro del sobre, este experimento se puede modelar como una variable aleatoria $X$ de acuerdo a una Bernoulli con parametro $p$. Ahora, imaginemos que abrimos el sobre, observamos su contenido y lo volvemos a cerrar. La primera vez que hacemos este proceso podemos observar 'blanco' o 'negro' de forma aleatoria.
Pi0 = [1, 0; 0, 0];
Pi1 = [0, 0; 0, 1];
p = 0.25
rhoX = [1-p, 0; 0, p]
p0 = trace(Pi0 * rhoX)
p1 = trace(Pi1 * rhoX)
p = 0.2500
rhoX =
0.7500 0
0 0.2500
p0 = 0.7500
p1 = 0.2500
Sin embargo, una vez realizada esta observación (o medida) el contenido del sobre ya es conocido, y por mucho que lo cerremos y lo volvamos a abrir varias veces, su contenido ya no cambiará. De esta forma, después de la primera observación, la variable aleatoria $X$ pasa ser determinista al estar en un estado definido.
rhoXprime_0 = Pi0 * rhoX * Pi0' / trace(Pi0 * rhoX)
rhoXprime_1 = Pi1 * rhoX * Pi1' / trace(Pi1 * rhoX)
rhoXprime_0 = 1 0 0 0 rhoXprime_1 = 0 0 0 1
Por otra parte, si realizamos la medida (abrimos el sobre) pero sin observar su resultado, el valor de
$X$ seguiría siendo desconocido y por tanto aleatorio. La nueva matriz de densidad de probabilidad tras la medida pasaría a ser en este caso:
rhoXprime = Pi0 * rhoX * Pi0 + Pi1 * rhoX * Pi1'
rhoXprime =
0.7500 0
0 0.2500
Concluimos que el proceso de medida (sin observar el contenido del sobre) no ha afectado al estado, ya que $\rho_X'=\rho_X$. A pesar de que esto último puede parecer intuitivo, veremos que en el caso de aplicar una medida a un estado cuántico, ésta puede afectar al estado incluso si no observamos su resultado.