Ejemplo 4.1: Un sobre cerrado¶
$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}$En un sobre se introduce aleatoriamente un disco de color blanco o negro con una cierta probabilidad. El sobre se cierra a continuación sin conocer cuál es su contenido:
Como inicialmente no conocemos qué hay dentro del sobre, este experimento se puede modelar como una variable aleatoria $X$ de acuerdo a una Bernoulli con parametro $p$. Ahora, imaginemos que abrimos el sobre, observamos su contenido y lo volvemos a cerrar. La primera vez que hacemos este proceso podemos observar 'blanco' o 'negro' de forma aleatoria.
import numpy as np
Pi0 = np.array([[1, 0], [0, 0]])
Pi1 = np.array([[0, 0], [0, 1]])
p = 0.25
rhoX = np.array([[1-p, 0], [0, p]])
print("rhoX =\n", str(rhoX))
p0 = np.trace(Pi0 @ rhoX)
p1 = np.trace(Pi1 @ rhoX)
print("\nPr[X=1] =", str(p1), "\nPr[X=0] =", str(p0))
rhoX = [[0.75 0. ] [0. 0.25]] Pr[X=1] = 0.25 Pr[X=0] = 0.75
Sin embargo, una vez realizada esta observación (o medida) el contenido del sobre ya es conocido, y por mucho que lo cerremos y lo volvamos a abrir varias veces, su contenido ya no cambiará. De esta forma, después de la primera observación, la variable aleatoria $X$ pasa ser determinista al estar en un estado definido.
rhoXprime_0 = Pi0 @ rhoX @ Pi0.conj().T / np.trace(Pi0 @ rhoX)
print("rhoXprime_0 =\n", str(rhoXprime_0))
rhoXprime_1 = Pi1 @ rhoX @ Pi1.conj().T / np.trace(Pi1 @ rhoX)
print("rhoXprime_1 =\n", str(rhoXprime_1))
rhoXprime_0 = [[1. 0.] [0. 0.]] rhoXprime_1 = [[0. 0.] [0. 1.]]
Por otra parte, si realizamos la medida (abrimos el sobre) pero sin observar su resultado, el valor de
$X$ seguiría siendo desconocido y por tanto aleatorio. La nueva matriz de densidad de probabilidad tras la medida pasaría a ser en este caso:
rhoXprime = Pi0 @ rhoX @ Pi0.conj().T + Pi1 @ rhoX @ Pi1.conj().T
print("rhoXprime =\n", str(rhoXprime))
rhoXprime = [[0.75 0. ] [0. 0.25]]
Concluimos que el proceso de medida (sin observar el contenido del sobre) no ha afectado al estado, ya que $\rho_X'=\rho_X$. A pesar de que esto último puede parecer intuitivo, veremos que en el caso de aplicar una medida a un estado cuántico, ésta puede afectar al estado incluso si no observamos su resultado.