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Ejemplo 5.3: Estados compuestos separables

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Alice y Bob comparten una fuente de aleatoriedad común, por ejemplo, comprobando en la TV el resultado del sorteo de la lotería nacional y viendo si ha salido un número par o impar:

• Si el resultado es par, Alice y Bob preparan los estados cuánticos $\rho_0^A$ y $\sigma_0^B$, respectivamente.

import numpy as np

rhoA_0    = np.array([[1, 0], [0, 0]])
sigmaB_0  = np.array([[0, 0], [0, 1]])
deltaAB_0 = np.kron(rhoA_0, sigmaB_0)

print("rhoA_0 = \n", rhoA_0, "\nsigmaB_0 = \n", sigmaB_0, "\ndeltaAB_0 = kron(rhoA_0, sigmaB_) =\n", str(deltaAB_0))

rhoA_0 = 
 [[1 0]
 [0 0]] 
sigmaB_0 = 
 [[0 0]
 [0 1]] 
deltaAB_0 = kron(rhoA_0, sigmaB_) =
 [[0 0 0 0]
 [0 1 0 0]
 [0 0 0 0]
 [0 0 0 0]]

• Si el resultado es impar, en cambio, preparan los estados $\rho_1^A$ y $\sigma_1^B$.

rhoA_1    = np.array([[1/2, 1/2], [1/2, 1/2]])
sigmaB_1  = np.array([[1, 0], [0, 0]])
deltaAB_1 = np.kron(rhoA_1, sigmaB_1)

print("rhoA_1 = \n", rhoA_1, "\nsigmaB_1 = \n", sigmaB_1, "\ndeltaAB_1 = kron(rhoA_1, sigmaB_1) =\n", str(deltaAB_1))

rhoA_1 = 
 [[0.5 0.5]
 [0.5 0.5]] 
sigmaB_1 = 
 [[1 0]
 [0 0]] 
deltaAB_1 = kron(rhoA_1, sigmaB_1) =
 [[0.5 0.  0.5 0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.5 0.  0.5 0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]]

Para un sorteo de la lotería no trucado, la probabilidad de un resultado par o impar es la misma y el estado cuántico compuesto del sistema formado por los sub-sistemas de Alice y Bob está dado por \begin{align*} \delta^{AB} = \frac{1}{2} \rho_0^A \otimes \sigma_0^B + \frac{1}{2} \rho_1^A \otimes \sigma_1^B. \end{align*} Este estado es por tanto un estado separable y no está entrelazado.

deltaAB = 1/2 * deltaAB_0 + 1/2 * deltaAB_1
print("deltaAB =\n", str(deltaAB))

deltaAB =
 [[0.25 0.   0.25 0.  ]
 [0.   0.5  0.   0.  ]
 [0.25 0.   0.25 0.  ]
 [0.   0.   0.   0.  ]]