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Ejemplo 5.4: Varios estados compuestos importantes

Definimos varios estados compuestos importantes que usaremos durante el curso:

1. Estado máximamente mezclado: \begin{align*}
   \delta &= \frac{1}{4} \left[\begin{smallmatrix}

             1 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 1 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 1 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
   

   \end{align} Los sub-sistemas que componen este estado son independientes entre sí, ya que \begin{align}
   \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}

             1 & 0\\
             0 & 1 \end{matrix}\right]
             \otimes
       \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}
             1 & 0\\
             0 & 1 \end{matrix}\right]
   

   \end{align*}

delta_1 = [[1/4, 0, 0, 0]; [0, 1/4, 0, 0]; [0, 0, 1/4, 0]; [0, 0, 0, 1/4]]

% Pero también:
rho    = [[1/2, 0]; [0, 1/2]]
sigma  = [[1/2, 0]; [0, 1/2]]
delta_1 = kron(rho, sigma)

delta_1 =

   0.2500        0        0        0
        0   0.2500        0        0
        0        0   0.2500        0
        0        0        0   0.2500

rho =

   0.5000        0
        0   0.5000

sigma =

   0.5000        0
        0   0.5000

delta_1 =

   0.2500        0        0        0
        0   0.2500        0        0
        0        0   0.2500        0
        0        0        0   0.2500

1. Estado con correlación máxima:

      \begin{align*}        
          \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix}
             1 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
      \end{align*}
   

   Los sub-sistemas que componen este estado presentan una cierta correlación, pero no están entrelazados entre sí. Esto se puede ver con la siguiente descomposición: \begin{align*}
   \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}

             1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right]
        \otimes \left[\begin{matrix}
             1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right]        
    +  \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}
             0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right]
        \otimes \left[\begin{matrix}
             0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right]
      \end{align*}
   

   por lo que se trata de un estado separable.

delta_2 = [[1/2, 0, 0, 0]; [0, 0, 0, 0]; [0, 0, 0, 0]; [0, 0, 0, 1/2]]

% Pero tambien:
Pi0    = [[1, 0]; [0, 0]]
Pi1    = [[0, 0]; [0, 1]]
delta_2 = 1/2*kron(Pi0,Pi0) + 1/2*kron(Pi1,Pi1)

delta_2 =

   0.5000        0        0        0
        0        0        0        0
        0        0        0        0
        0        0        0   0.5000

Pi0 =

   1   0
   0   0

Pi1 =

   0   0
   0   1

delta_2 =

   0.5000        0        0        0
        0        0        0        0
        0        0        0        0
        0        0        0   0.5000

1. Estado máximamente entrelazado:

       \begin{align*}        
          \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix}
             1 & 0 & 0 & 1\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
       \end{align*}
   

   Este estado se corresponde a un estado puro, ya que

       \begin{align*}        
          \delta &= \ket{\psi}\bra{\psi}
       \end{align*}
       donde $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\ket{0} \otimes \ket{0} + \ket{1} \otimes \ket{1} \bigr)$,
       y no se puede descomponer como un estado independiente o mixto. Por tanto concluimos que éste es un estado entrelazado.

delta_3 = [[1/2, 0, 0, 1/2]; [0, 0, 0, 0]; [0, 0, 0, 0]; [1/2, 0, 0, 1/2]]

% Pero también:
ket0 = [1; 0]
ket1 = [0; 1]
ket_psi = 1/sqrt(2) * (kron(ket0,ket0) + kron(ket1,ket1))
delta_3 = ket_psi*ket_psi'

delta_3 =

   0.5000        0        0   0.5000
        0        0        0        0
        0        0        0        0
   0.5000        0        0   0.5000

ket0 =

   1
   0

ket1 =

   0
   1

ket_psi =

   0.7071
        0
        0
   0.7071

delta_3 =

   0.5000        0        0   0.5000
        0        0        0        0
        0        0        0        0
   0.5000        0        0   0.5000