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Ejemplo 5.4: Varios estados compuestos importantes

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Definimos varios estados compuestos importantes que usaremos durante el curso:

1. Estado máximamente mezclado: \begin{align*}
   \delta &= \frac{1}{4} \left[\begin{smallmatrix}

             1 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 1 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 1 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
   

   \end{align} Los sub-sistemas que componen este estado son independientes entre sí, ya que \begin{align}
   \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}

             1 & 0\\
             0 & 1 \end{matrix}\right]
             \otimes
       \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}
             1 & 0\\
             0 & 1 \end{matrix}\right]
   

   \end{align*}

import numpy as np

delta_1 = np.array([[1/4, 0, 0, 0], [0, 1/4, 0, 0], [0, 0, 1/4, 0], [0, 0, 0, 1/4]])
print("delta_1 =\n", str(delta_1))

# Pero también:
rho    = np.array([[1/2, 0], [0, 1/2]])
sigma  = np.array([[1/2, 0], [0, 1/2]])
delta_1 = np.kron(rho, sigma)
print("\nrho = \n", rho, "\nsigma = \n", sigma, "\ndelta_1 = kron(rho, sigma) =\n", str(delta_1))

delta_1 =
 [[0.25 0.   0.   0.  ]
 [0.   0.25 0.   0.  ]
 [0.   0.   0.25 0.  ]
 [0.   0.   0.   0.25]]

rho = 
 [[0.5 0. ]
 [0.  0.5]] 
sigma = 
 [[0.5 0. ]
 [0.  0.5]] 
delta_1 = kron(rho, sigma) =
 [[0.25 0.   0.   0.  ]
 [0.   0.25 0.   0.  ]
 [0.   0.   0.25 0.  ]
 [0.   0.   0.   0.25]]

1. Estado con correlación máxima:

      \begin{align*}        
          \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix}
             1 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
      \end{align*}
   

   Los sub-sistemas que componen este estado presentan una cierta correlación, pero no están entrelazados entre sí. Esto se puede ver con la siguiente descomposición: \begin{align*}
   \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}

             1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right]
        \otimes \left[\begin{matrix}
             1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right]        
    +  \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}
             0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right]
        \otimes \left[\begin{matrix}
             0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right]
      \end{align*}
   

   por lo que se trata de un estado separable.

delta_2 = np.array([[1/2, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1/2]])
print("delta_2 =\n", str(delta_2))


# Pero tambien:
Pi0    = np.array([[1, 0], [0, 0]])
Pi1    = np.array([[0, 0], [0, 1]])
delta_2 = 1/2*np.kron(Pi0,Pi0) + 1/2*np.kron(Pi1,Pi1)
print("\nPi0 = \n", Pi0, "\nPi1 = \n", Pi1, "\ndelta_2 = 1/2*kron(Pi0,Pi0) + 1/2*kron(Pi1,Pi1) =\n", str(delta_2))

delta_2 =
 [[0.5 0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0.5]]

Pi0 = 
 [[1 0]
 [0 0]] 
Pi1 = 
 [[0 0]
 [0 1]] 
delta_2 = 1/2*kron(Pi0,Pi0) + 1/2*kron(Pi1,Pi1) =
 [[0.5 0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0.5]]

1. Estado máximamente entrelazado:

       \begin{align*}        
          \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix}
             1 & 0 & 0 & 1\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             0 & 0 & 0 & 0\\
             1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
       \end{align*}
   

   Este estado se corresponde a un estado puro, ya que

       \begin{align*}        
          \delta &= \ket{\psi}\bra{\psi}
       \end{align*}
       donde $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\ket{0} \otimes \ket{0} + \ket{1} \otimes \ket{1} \bigr)$,
       y no se puede descomponer como un estado independiente o mixto. Por tanto concluimos que éste es un estado entrelazado.

delta_3 = np.array([[1/2, 0, 0, 1/2], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [1/2, 0, 0, 1/2]])
print("delta_3 =\n", str(delta_3))

# Pero también:
ket0 = np.array([[1], [0]])
ket1 = np.array([[0], [1]])
ket_psi = 1/np.sqrt(2) * (np.kron(ket0, ket0) + np.kron(ket1, ket1))
delta_3 = ket_psi @ ket_psi.conj().T
print("\nket_psi = \n", ket_psi, "\ndelta_3 = ket_psi * ket_psi.H =\n", str(delta_3))

delta_3 =
 [[0.5 0.  0.  0.5]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.5 0.  0.  0.5]]

ket_psi = 
 [[0.70710678]
 [0.        ]
 [0.        ]
 [0.70710678]] 
delta_3 = ket_psi * ket_psi.H =
 [[0.5 0.  0.  0.5]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.  0.  0.  0. ]
 [0.5 0.  0.  0.5]]