$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Consideremos dos estados cuánticos independientes $\rho^A$ y $\sigma^B$, con una matriz de densidad de probabilidad asociada \begin{align*} \delta^{AB} = \rho^A \otimes \sigma^B. \end{align*} Asumamos que Alice realiza una medida con respecto a $\bigl\{ \Pi_0^A, \Pi_1^A \bigr\}$ en su parte del estado.
Entonces, el POVM a aplicar al estado compuesto estaría dado por \begin{align*} \bigl\{ \Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B,\; \Pi_1^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B \bigr\}. \end{align*}
fprintf('\nDefinimos un estado compuesto independiente:\n\n')
rhoA = [[3/4, 0]; [0, 1/4]]
sigmaB = [[1/2, 1/2]; [1/2, 1/2]]
deltaAB = kron(rhoA, sigmaB)
fprintf('\nProyectores de medida:\n\n')
Pi0A = [[1, 0]; [0, 0]]
Pi1A = [[0, 0]; [0, 1]]
I2B = [[1, 0]; [0, 1]]
Pi0AB = kron(Pi0A, I2B)
Pi1AB = kron(Pi1A, I2B)
fprintf('\nProbabilidades de la medida del sistema compuesto:\n\n')
PrA0 = trace(Pi0AB*deltaAB)
PrA1 = trace(Pi1AB*deltaAB)
Definimos un estado compuesto independiente:
rhoA =
0.7500 0
0 0.2500
sigmaB =
0.5000 0.5000
0.5000 0.5000
deltaAB =
0.3750 0.3750 0 0
0.3750 0.3750 0 0
0 0 0.1250 0.1250
0 0 0.1250 0.1250
Proyectores de medida:
Pi0A =
1 0
0 0
Pi1A =
0 0
0 1
I2B =
1 0
0 1
Pi0AB =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Pi1AB =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Probabilidades de la medida del sistema compuesto:
PrA0 = 0.7500
PrA1 = 0.2500
De acuerdo a las ecuaciones de medida de un sistema compuesto, se tiene que \begin{align*} p_{0} &= \text{Tr}\bigl[\bigl(\Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B\bigr)\delta^{AB}\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\bigl(\Pi_0^A \rho^A\bigr) \otimes \bigl(\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr)\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\Pi_0^A \rho^A\bigr] \text{Tr}\bigl[\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\Pi_0^A \rho^A\bigr] \end{align*} donde hemos utilizado la propiedad del producto mixto, la propiedad $\text{Tr}[\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}] = \text{Tr}[\boldsymbol{A}]\text{Tr}[\boldsymbol{B}]$; y que $\text{Tr}\bigl[\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr] = \text{Tr}\bigl[\sigma^B\bigr]=1$ ya que $\sigma^B$ se corresponde a un estado cuántico.
De forma análoga, se tiene que $p_{1} = \text{Tr}\bigl[\Pi_1^A \rho^A\bigr]$. Concluimos que esta medida sobre estado conjunto independiente modela la medida sobre el sub-sistema $A$, como podríamos esperar.
% Comprobamos que el desarrollo es correcto
PrA0 = trace(Pi0A*rhoA)
PrA1 = trace(Pi1A*rhoA)
PrA0 = 0.7500 PrA1 = 0.2500