$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Consideremos dos estados cuánticos independientes $\rho^A$ y $\sigma^B$, con una matriz de densidad de probabilidad asociada \begin{align*} \delta^{AB} = \rho^A \otimes \sigma^B. \end{align*} Asumamos que Alice realiza una medida con respecto a $\bigl\{ \Pi_0^A, \Pi_1^A \bigr\}$ en su parte del estado.
Entonces, el POVM a aplicar al estado compuesto estaría dado por \begin{align*} \bigl\{ \Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B,\; \Pi_1^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B \bigr\}. \end{align*}
import numpy as np
print('\nDefinimos un estado compuesto independiente:\n')
rhoA = np.array([[3/4, 0], [0, 1/4]])
sigmaB = np.array([[1/2, 1/2], [1/2, 1/2]])
deltaAB = np.kron(rhoA, sigmaB)
print("rhoA = \n", rhoA, "\nsigmaB = \n", sigmaB, "\ndeltaAB = kron(rhoA, sigmaB) =\n", str(deltaAB))
print('\nProyectores de medida:\n')
Pi0A = np.array([[1, 0], [0, 0]])
Pi1A = np.array([[0, 0], [0, 1]])
I2B = np.array([[1, 0], [0, 1]])
print("Pi0A = \n", Pi0A, "\nPi1A = \n", Pi1A, "\nI2B = \n", I2B)
Pi0AB = np.kron(Pi0A, I2B)
Pi1AB = np.kron(Pi1A, I2B)
print("\nPi0AB = \n", Pi0AB, "\nPi1AB = \n", Pi1AB)
print('\nProbabilidades de la medida del sistema compuesto:\n')
PrA0 = np.trace(Pi0AB @ deltaAB)
PrA1 = np.trace(Pi1AB @ deltaAB)
print("PrA0 = ", PrA0, "\nPrA1 = ", PrA1)
Definimos un estado compuesto independiente: rhoA = [[0.75 0. ] [0. 0.25]] sigmaB = [[0.5 0.5] [0.5 0.5]] deltaAB = kron(rhoA, sigmaB) = [[0.375 0.375 0. 0. ] [0.375 0.375 0. 0. ] [0. 0. 0.125 0.125] [0. 0. 0.125 0.125]] Proyectores de medida: Pi0A = [[1 0] [0 0]] Pi1A = [[0 0] [0 1]] I2B = [[1 0] [0 1]] Pi0AB = [[1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 0] [0 0 0 0]] Pi1AB = [[0 0 0 0] [0 0 0 0] [0 0 1 0] [0 0 0 1]] Probabilidades de la medida del sistema compuesto: PrA0 = 0.75 PrA1 = 0.25
De acuerdo a las ecuaciones de medida de un sistema compuesto, se tiene que \begin{align*} p_{0} &= \text{Tr}\bigl[\bigl(\Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B\bigr)\delta^{AB}\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\bigl(\Pi_0^A \rho^A\bigr) \otimes \bigl(\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr)\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\Pi_0^A \rho^A\bigr] \text{Tr}\bigl[\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\Pi_0^A \rho^A\bigr] \end{align*} donde hemos utilizado la propiedad del producto mixto, la propiedad $\text{Tr}[\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}] = \text{Tr}[\boldsymbol{A}]\text{Tr}[\boldsymbol{B}]$; y que $\text{Tr}\bigl[\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr] = \text{Tr}\bigl[\sigma^B\bigr]=1$ ya que $\sigma^B$ se corresponde a un estado cuántico. De forma análoga, se tiene que $p_{1} = \text{Tr}\bigl[\Pi_1^A \rho^A\bigr]$.
# Comprobamos que el desarrollo es correcto
PrA0 = np.trace(Pi0A @ rhoA)
PrA1 = np.trace(Pi1A @ rhoA)
print("PrA0 = ", PrA0, "\nPrA1 = ", PrA1)
PrA0 = 0.75 PrA1 = 0.25
Concluimos que esta medida sobre estado conjunto independiente modela la medida sobre el sub-sistema $A$, como podríamos esperar.