Ejemplo 6.1: Transmisión por una fibra óptica¶
$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$ Considere un fotón con polarización lineal modelado por el estado $\rho=\ket{\theta}\bra{\theta}$, donde $\ket{\theta} = \bigl[\begin{smallmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\end{smallmatrix}\bigr]$.
function [rho] = foton(theta) % Matriz de densidad de probabilidad de un foton polarizado
ket_theta = [cos(theta); sin(theta)];
rho = ket_theta * ket_theta';
end
Este fotón se transmite por una fibra óptica cuyo efecto se modela con la transformación \begin{align*} U_{\alpha} = \left[\begin{matrix} \cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)& \cos(\alpha) \end{matrix}\right]. \end{align*}
function [U] = fibra(alpha) % Transformación unitaria de una fibra optica
U = [[cos(alpha), -sin(alpha)]; [sin(alpha), cos(alpha)]];
end
Esta transformación es una operación unitaria, dado que $U_{\alpha}U_{\alpha}^H = U_{\alpha}^H U_{\alpha} = \boldsymbol{I}$.
fprintf('\nComprobamos que se trata de una matriz unitaria para un parámetro dado:\n\n')
alpha = 0.2;
U = fibra(alpha)
U*U'
U'*U
Comprobamos que se trata de una matriz unitaria para un parámetro dado: U = 0.9801 -0.1987 0.1987 0.9801 ans = 1.0000e+00 -1.2308e-17 -1.2308e-17 1.0000e+00 ans = 1.0000e+00 1.2308e-17 1.2308e-17 1.0000e+00
La matriz de densidad de probabilidad del fotón a la salida de la fibra está dada por \begin{align*} \sigma &= U_{\alpha} \rho U_{\alpha}^H. \end{align*}
Por ejemplo, para un fotón con $\theta=0$ (polarización horizontal) y una fibra óptica con parámetro $\alpha=\pi/4$, se tiene que \begin{align*} \sigma &= \left[\begin{matrix} \cos(\pi/4)& -\sin(\pi/4)\\\sin(\pi/4)& \cos(\pi/4) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1&0\\0&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \cos(\pi/4)& \sin(\pi/4)\\-\sin(\pi/4)& \cos(\pi/4) \end{matrix}\right] = \frac{1}{2}\left[\begin{matrix} 1&1\\1&1 \end{matrix}\right]. \end{align*}
rho = foton(0)
U = fibra(pi/4)
sigma = U*rho*U'
rho = 1 0 0 0 U = 0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 sigma = 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
Este estado se corresponde a una fotón $\sigma =\ket{\phi}\bra{\phi}$ con $\phi=\pi/4$. En general, se puede comprobar que la transformación $U_{\alpha}$ definida en este ejemplo introduce una rotación de la polarización lineal del fotón de entrada por un ángulo $\alpha$:
