Ejemplo 6.2: Evolución reversible en fibra óptica¶
$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Considere el ejemplo anterior de la transmisión de un fotón por una línea óptica:
Ésta se puede modelar como $U_{\alpha}$ donde $\alpha$ se corresponde con el ángulo de rotación de polarización: \begin{align*} U_{\alpha} = \left[\begin{matrix} \cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)& \cos(\alpha) \end{matrix}\right]. \end{align*}
In [5]:
import numpy as np
def fibra(alpha): # Transformación unitaria de una fibra optica
U = np.array([[np.cos(alpha), -np.sin(alpha)], [np.sin(alpha), np.cos(alpha)]])
return U
- Si el ángulo $\alpha$ es conocido, basta aplicar una rotación con un ángulo $-\alpha$ para recuperar el fotón original. De hecho, en este caso $U_{\alpha}^H = U_{\alpha}^{-1} = U_{-\alpha}$: \begin{align*} U_{\alpha} U_{-\alpha} &= \left[\begin{matrix} \cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)& \cos(\alpha) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \cos(\alpha)& \sin(\alpha)\\-\sin(\alpha)& \cos(\alpha) \end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix} \cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2 & \cos(\alpha)\sin(\alpha)-\sin(\alpha)\cos(\alpha)\\ \sin(\alpha)\cos(\alpha)-\cos(\alpha)\sin(\alpha)& \sin(\alpha)^2 + \cos(\alpha)^2 \end{matrix}\right]= \boldsymbol{I}, \end{align*} donde hemos utilizado que $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$ y que $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ al ser funciones par e impar, respectivamente; y la conocida identidad trigonométrica $\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2=1$.
In [12]:
print("Comprobamos que U_{-alpha} es de hecho la inversa de U_{alpha}:\n")
alpha = 0.2;
Ua = fibra(alpha)
U_a = fibra(-alpha)
print("Ua =\n", str(Ua), "\n\nU_a =\n", str(U_a))
print("\nUa @ U_a =\n", Ua @ U_a)
print("\nU_a @ Ua =\n", U_a @ Ua)
Comprobamos que U_{-alpha} es de hecho la inversa de U_{alpha}:
Ua =
[[ 0.98006658 -0.19866933]
[ 0.19866933 0.98006658]]
U_a =
[[ 0.98006658 0.19866933]
[-0.19866933 0.98006658]]
Ua @ U_a =
[[ 1.00000000e+00 -1.23079293e-17]
[-1.23079293e-17 1.00000000e+00]]
U_a @ Ua =
[[1.00000000e+00 1.23079293e-17]
[1.23079293e-17 1.00000000e+00]]
- Si el ángulo $\alpha$ es desconocido, en cambio, no es posible recuperar el fotón original al no poder construir la transformación inversa. En este caso sería necesario estimar de alguna forma la rotación que introduce la fibra para así poder compensarla.
In [14]:
def foton(theta): # Matriz de densidad de probabilidad de un foton polarizado
ket_theta = np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)])
rho = np.outer(ket_theta, ket_theta)
return rho
print("Fibra que introduce una rotación aleatoria:\n\n")
rho = foton(0)
U = fibra(2*np.pi*np.random.rand())
sigma = U @ rho @ U.conj().T
print("\nrho =\n", str(rho), "\n\nU =\n", str(U), "\n\nsigma =\n", str(sigma))
Fibra que introduce una rotación aleatoria: rho = [[1. 0.] [0. 0.]] U = [[ 0.01240582 0.99992304] [-0.99992304 0.01240582]] sigma = [[ 1.53904362e-04 -1.24048650e-02] [-1.24048650e-02 9.99846096e-01]]