Ejemplo 7.1: Tirada de dos dados¶
$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Consideramos una tirada de dos dados no trucados. Los posibles eventos del experimento son todas las combinaciones de los resultados, por tanto el espacio muestral es \begin{align*} \Omega = \bigl\{ (1,1),\, (1,2), \ldots, (6,6)\bigr\}. \end{align*} Al ser dados dados no trucados, cada uno de los elementos del espacio muestral tiene la misma probabilidad, $\Pr\{(x,y)\}= 1/36$, para $x = 1,\ldots,6$, e $y = 1,\ldots,6$.
import numpy as np
x = np.arange(1, 7)
y = np.arange(1, 7)
Pxy = np.ones((6, 6)) / 36
print("x = \n", x, "\ny = \n", y, "\nPxy = \n", Pxy)
x = [1 2 3 4 5 6] y = [1 2 3 4 5 6] Pxy = [[0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778] [0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778] [0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778] [0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778] [0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778] [0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778 0.02777778]]
Para este experimento podemos definir una variable aleatoria $Z$ que se corresponde a ``suma de los dos dados''. Esta variable aleatoria tiene una probabilidad heredada del espacio muestral. En nuestro ejemplo, \begin{align*} \Pr\{ Z = 1 \} &= \Pr\{ \emptyset \} = 0,\\ \Pr\{ Z = 2 \} &= \Pr\{ (1,1) \} = 1/36,\\ \Pr\{ Z = 3 \} &= \Pr\{ (1,2) \cup (2,1) \} = 2/36,\\ %\Pr\{ Z = 4 \} &= \Pr\{ (1,3) \cup (3,1) \cup (2,2) \} = 3/36,\\ &\ldots \end{align*}
z = np.arange(1, 13) # Define the variable z
Pz = np.zeros(len(z)) # Placeholder for Pz
x_plus_y = np.add.outer(x, y) # All possibilities of x+y
print("z = \n", z, '\nx_plus_y = \n', x_plus_y)
for i in range(len(z)):
# Sum the probabilities of x,y such that x+y=z
Pz[i] = np.sum(Pxy[np.where(x_plus_y == z[i])])
print("Pz = \n", Pz)
z = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] x_plus_y = [[ 2 3 4 5 6 7] [ 3 4 5 6 7 8] [ 4 5 6 7 8 9] [ 5 6 7 8 9 10] [ 6 7 8 9 10 11] [ 7 8 9 10 11 12]] Pz = [0. 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556 0.02777778]
Una realización de este experimento ocurre al realizar una tirada de los dados y ver el valor concreto que toma la variable considerada, por ejemplo, "en una tirada de $2$ dados ha salido la suma $z=7$".