$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Queremos transmitir un estado cuántico binario $\rho = \ket{0}\bra{0} = \left[\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}\right]$ sobre un canal \begin{align*} U = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix}+1&+1\\+1&-1\end{matrix}\right],\quad U^H = U, \end{align*} donde la matriz $U$ se asume conocida en el receptor. En este caso, la salida del canal está dada por \begin{align*} \sigma = U \rho U^{H} = \frac{1}{2} \left[\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}\right]. \end{align*}
ket0 = [1;0];
rho = ket0*ket0'
U = [[1, 1]; [1, -1]]/sqrt(2)
sigma = U*rho*U'
rho = 1 0 0 0 U = 0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071 sigma = 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
Para recuperar el estado original, invertimos la transformación introducida por el canal \begin{align*} \hat\rho &= U^{H} \sigma U = \frac{1}{4} \left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1&1\\1&1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}\right] = \rho. \end{align*}
rho_hat = U' * sigma * U
rho_hat = 1.0000e+00 6.2233e-19 3.2518e-17 5.9779e-34
Podemos ver que hemos recuperado el estado original. Esto ocurre no solo para el estado considerado en este ejercicio, sino para para cualquier estado $\rho$ a la entrada del canal. Entonces, con este esquema podemos transmitir sin errores un cúbit de información a través de este canal cuántico binario.