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Ejemplo 8.2: Transmisión de un bit clásico

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Considere el canal definido por \begin{align*} \text{U} = \left[\begin{smallmatrix}0 &1\\1&0\end{smallmatrix}\right], \end{align*} y el esquema descrito anterioremente para la transmisión de un bit $m=0$:

1. El codificador genera un estado a la entrada del canal \begin{align*} \rho = \ket{0}\bra{0} = \left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right]. \end{align*}

m = 0
ket0 = [1;0];
rho  = ket0*ket0'

1. A la salida del canal recibimos el estado \begin{align*} \sigma = U\rho U^H = \left[\begin{smallmatrix}0 &1\\1&0\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}0 &1\\1&0\end{smallmatrix}\right] = \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right]. \end{align*}

U = [[0, 1]; [1, 0]]
sigma = U*rho*U'

U =

   0   1
   1   0

sigma =

   0   0
   0   1

1. La medida de este estado se realiza con respecto al POVM $\{\tilde\Pi_{0}, \tilde\Pi_{1}\}$, donde \begin{align*} \tilde\Pi_{0} = U \Pi_{0} U^{H} = \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right],\qquad \tilde\Pi_{1} = U \Pi_{1} U^{H} = \left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right]. \end{align*} Así las probabilidades de observar $\hat{m}=0$ y $\hat{m}=1$ están dadas por \begin{align*} \Pr\{ \hat{M}=0 \;|\; M=0 \} &= \text{Tr}\bigl[\tilde\Pi_{0} \sigma_0\bigr] = \text{Tr}\Bigl[\left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right]\Bigr] = 1,\\ \Pr\{ \hat{M}=1 \;|\; M=0 \} &= \text{Tr}\bigl[\tilde\Pi_{1} \sigma_0\bigr] = \text{Tr}\Bigl[\left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right]\Bigr] = 0. \end{align*} Concluimos que siempre se observa el estado correcto, $\hat{m}=0$ con probabilidad $1$.

Pi0tilde = [[0, 0]; [0, 1]]
Pi1tilde = [[1, 0]; [0, 0]]

Pr_m0 = trace(Pi0tilde * sigma)
Pr_m1 = trace(Pi1tilde * sigma)

Pi0tilde =

   0   0
   0   1

Pi1tilde =

   1   0
   0   0

Pr_m0 = 1
Pr_m1 = 0

De forma análoga se puede analizar la transmisión de un bit $m=1$, observando $\hat{m}=1$ en este caso:

m = 1
ket1 = [0;1];
rho  = ket1*ket1'
sigma = U*rho*U'
Pr_m0 = trace(Pi0tilde * sigma)
Pr_m1 = trace(Pi1tilde * sigma)

m = 1
rho =

   0   0
   0   1

sigma =

   1   0
   0   0

Pr_m0 = 0
Pr_m1 = 1