☰  Introducción a la comunicación y la computación cuántica

ejemplo-8.2-python.ipynb

Ejemplo 8.2: Transmisión de un bit clásico

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Considere el canal definido por \begin{align*} \text{U} = \left[\begin{smallmatrix}0 &1\\1&0\end{smallmatrix}\right], \end{align*} y el esquema descrito anterioremente para la transmisión de un bit $m=0$:

1. El codificador genera un estado a la entrada del canal \begin{align*} \rho = \ket{0}\bra{0} = \left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right]. \end{align*}

import numpy as np

m = 0
ket0 = np.array([[1], [0]])
rho = np.outer(ket0, ket0)
print('m =', m, '\nrho =\n', rho)

m = 0 
rho =
 [[1 0]
 [0 0]]

1. A la salida del canal recibimos el estado \begin{align*} \sigma = U\rho U^H = \left[\begin{smallmatrix}0 &1\\1&0\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}0 &1\\1&0\end{smallmatrix}\right] = \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right]. \end{align*}

U = np.array([[0, 1], [1, 0]])
sigma = U @ rho @ U.conj().T
print('U =\n', U, '\nsigma = U @ rho @ U.H =\n', sigma)

U =
 [[0 1]
 [1 0]] 
sigma = U @ rho @ U.H =
 [[0 0]
 [0 1]]

1. La medida de este estado se realiza con respecto al POVM $\{\tilde\Pi_{0}, \tilde\Pi_{1}\}$, donde \begin{align*} \tilde\Pi_{0} = U \Pi_{0} U^{H} = \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right],\qquad \tilde\Pi_{1} = U \Pi_{1} U^{H} = \left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right]. \end{align*} Así las probabilidades de observar $\hat{m}=0$ y $\hat{m}=1$ están dadas por \begin{align*} \Pr\{ \hat{M}=0 \;|\; M=0 \} &= \text{Tr}\bigl[\tilde\Pi_{0} \sigma_0\bigr] = \text{Tr}\Bigl[\left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right]\Bigr] = 1,\\ \Pr\{ \hat{M}=1 \;|\; M=0 \} &= \text{Tr}\bigl[\tilde\Pi_{1} \sigma_0\bigr] = \text{Tr}\Bigl[\left[\begin{smallmatrix}1 &0\\0&0\end{smallmatrix}\right] \left[\begin{smallmatrix}0 &0\\0&1\end{smallmatrix}\right]\Bigr] = 0. \end{align*} Concluimos que siempre se observa el estado correcto, $\hat{m}=0$ con probabilidad $1$.

Pi0tilde = np.array([[0, 0], [0, 1]])
Pi1tilde = np.array([[1, 0], [0, 0]])

Pr_m0 = np.trace(Pi0tilde @ sigma)
Pr_m1 = np.trace(Pi1tilde @ sigma)

print('Pr_m0 =', Pr_m0, '\nPr_m1 =', Pr_m1)

Pr_m0 = 1 
Pr_m1 = 0

De forma análoga se puede analizar la transmisión de un bit $m=1$, observando $\hat{m}=1$ en este caso:

m = 1
ket1 = np.array([[0], [1]])
rho = np.outer(ket1, ket1)
print('m =', m, '\nrho =\n', rho)
sigma = U @ rho @ U.conj().T
print('\nsigma = U @ rho @ U.H =\n', sigma)
Pr_m0 = np.trace(Pi0tilde @ sigma)
Pr_m1 = np.trace(Pi1tilde @ sigma)
print('\nPr_m0 =', Pr_m0, '\nPr_m1 =', Pr_m1)

m = 1 
rho =
 [[0 0]
 [0 1]]

sigma = U @ rho @ U.H =
 [[1 0]
 [0 0]]

Pr_m0 = 0 
Pr_m1 = 1