Ejemplo 8.2: Transmisión por entrelazamiento¶
$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$La idea de la transmisión de información por entrelazamiento aparece representada en la siguiente figura:
Definimos el estado máximamente entrelazado \begin{align*} \delta^{AB} = \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*} donde el superíndice $AB$ hace referencia a que la primera parte del estado pertenece a Alice y la segunda a Bob.
deltaAB = 1/2*[[1,0,0,1];[0,0,0,0];[0,0,0,0];[1,0,0,1]]
deltaAB =
0.5000 0 0 0.5000
0 0 0 0
0 0 0 0
0.5000 0 0 0.5000
Consideramos los proyectores de medida: \begin{align*} \Pi_{0}^A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad \Pi_{1}^A=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix},\quad \Pi_{+}^A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}+1&+1\\+1&+1\end{bmatrix},\quad \Pi_{-}^A=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}+1&-1\\-1&+1\end{bmatrix}. \end{align*}
Pi0A = [[1,0];[0,0]]
Pi1A = [[0,0];[0,1]]
PipA = [[+1,+1];[+1,+1]]/2
PimA = [[+1,-1];[-1,+1]]/2
Pi0A = 1 0 0 0 Pi1A = 0 0 0 1 PipA = 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 PimA = 0.5000 -0.5000 -0.5000 0.5000
Ahora, Alice aplica una medida a su parte del estado compartido con Bob:
- Si $m=0$, Alice aplica la medida con respecto al POVM$_{01} = \bigl\{\Pi^A_{0},\Pi^A_{1}\bigr\}$.
- Si $m=1$, Alice aplica la medida con respecto al POVM$_{+-} =\bigl\{\Pi^A_{+},\Pi^A_{-}\bigr\}$.
Para aplicar la medida al estado conjunto, definimos las matrices de dimensión $4\times 4$ dadas por $\Pi_k^{AB} = \Pi_k^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B$, donde $k\in\{0,1,+,-\}$.
I2B = eye(2) % Bob no hace nada en su parte
% Definimos las medidas conjuntas:
Pi0AB = kron(Pi0A,I2B)
Pi1AB = kron(Pi1A,I2B)
PipAB = kron(PipA,I2B)
PimAB = kron(PimA,I2B)
I2B =
Diagonal Matrix
1 0
0 1
Pi0AB =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Pi1AB =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
PipAB =
0.5000 0 0.5000 0
0 0.5000 0 0.5000
0.5000 0 0.5000 0
0 0.5000 0 0.5000
PimAB =
0.5000 0 -0.5000 0
0 0.5000 0 -0.5000
-0.5000 0 0.5000 0
0 -0.5000 0 0.5000
Si Alice aplica el POVM$_{01}= \bigl\{\Pi_{0}^A,\Pi_{1}^A\bigr\}$, y teniendo en cuenta que Bob no puede conocer el resultado de la medida, obtenemos el nuevo estado conjunto: \begin{align*} \theta_{01}^{AB} = \Pi_{0}^{AB} \delta^{AB} \Pi_{0}^{AB} + \Pi_{1}^{AB} \delta^{AB} \Pi_{1}^{AB} = \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}
theta01AB = Pi0AB*deltaAB*Pi0AB + Pi1AB*deltaAB*Pi1AB
theta01AB =
0.5000 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0.5000
Si Alice aplica el POVM$_{+-} =\bigl\{\Pi_{+}^A,\Pi_{-}^A\bigr\}$, como Bob no conoce el resultado de la medida, obtenemos: \begin{align*} \theta_{+-}^{AB} = \Pi_{+}^{AB} \delta^{AB} \Pi_{+}^{AB} + \Pi_{-}^{AB} \delta^{AB} \Pi_{-}^{AB} = \frac{1}{4} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}
thetapmAB = PipAB*deltaAB*PipAB + PimAB*deltaAB*PimAB
thetapmAB =
0.2500 0 0 0.2500
0 0.2500 0.2500 0
0 0.2500 0.2500 0
0.2500 0 0 0.2500
El estado conjunto tras aplicar la medida es diferente en los dos casos, $\theta_{01}^{AB} \neq \theta_{+-}^{AB}$.
Sin embargo, Bob no tiene acceso a este estado conjunto, sino solo a una parte del mismo. Para conocer el estado desde el punto de vista de Bob, debemos marginalizar $\theta^{AB}$ eliminando la parte de Alice. Se tiene que \begin{align*} \sigma^B_{01} = \text{Tr}_A\bigl[\theta_{01}^{AB}\bigr] = \frac{1}{2} \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right],\qquad \sigma^B_{+-} = \text{Tr}_A\bigl[\theta_{+-}^{AB}\bigr] = \frac{1}{2} \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]. \end{align*}
function [sigma] = traceA(delta) % traces out part A of a bipartite system
sigma = [delta(1,1)+delta(3,3) delta(1,2)+delta(3,4); ...
delta(2,1)+delta(4,3) delta(2,2)+delta(4,4)];
end
sigma_01B = traceA(theta01AB)
sigma_pmB = traceA(thetapmAB)
sigma_01B =
0.5000 0
0 0.5000
sigma_pmB =
0.5000 0
0 0.5000
Podemos ver que $\sigma^B_0 = \sigma^B_1$. Así, Bob no puede distinguir ambos casos teniendo aceso únicamente a su parte del estado. Por tanto, la comunicación no es posible con este esquema.