ejercicio-10.1-python

Ejercicio 10.1: Protocolo BB84¶

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Demuestre que:

Para las posiciones en las que $b_i=c_i$, se tiene que $\Pr\bigl\{A_i = \hat{A}_i\bigr\} = 1$, es decir, $a_i=\hat{a}_i$.
Para las posiciones en las que $b_i \neq c_i$, se tiene que $\Pr\bigl\{A_i = \hat{A}_i\bigr\} = \frac{1}{2}$.

Definimos las bases de codificación y medida:

\begin{align*} \Pi_{0}=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad \Pi_{1}=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix},\quad \Pi_{+}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}+1&+1\\+1&+1\end{bmatrix},\quad \Pi_{-}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}+1&-1\\-1&+1\end{bmatrix}. \end{align*}

In [1]:

import numpy as np

y consideramos los diferentes casos, en función de los valores de $b_i$, $c_i$ y $a_i$:

Caso 1: Bases $b_i = c_i = 0$

Alice aplica el siguiente esquema de codificación: \begin{align*} \rho_i = \begin{cases} \Pi_{0}, & a_i=0,\\ \Pi_{1}, & a_i=1. \end{cases} \end{align*}

Bob realiza una medida con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}\bigr\}$

In [ ]:

Caso 2: Bases $b_i = c_i = 1$

Alice aplica el siguiente esquema de codificación: \begin{align*} \rho_i = \begin{cases} \Pi_{+}, & a_i=0,\\ \Pi_{-}, & a_i=1. \end{cases} \end{align*}

Bob realiza una medida con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{+}, \Pi_{-}\bigr\}$

In [ ]:

Caso 3: Bases $b_i = 0$, $c_i = 1$

Alice aplica el siguiente esquema de codificación: \begin{align*} \rho_i = \begin{cases} \Pi_{0}, & a_i=0,\\ \Pi_{1}, & a_i=1. \end{cases} \end{align*}

Bob realiza una medida con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{+}, \Pi_{-}\bigr\}$

In [ ]:

Caso 4: Bases $b_i = 1$, $c_i = 0$

Alice aplica el siguiente esquema de codificación: \begin{align*} \rho_i = \begin{cases} \Pi_{+}, & a_i=0,\\ \Pi_{-}, & a_i=1. \end{cases} \end{align*}

Bob realiza una medida con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}\bigr\}$

In [ ]: