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Ejercicio 10.3: Protocolo de doble llave

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Considere un protocolo de doble llave para la transmisión de un estado binario. Alice y Bob aplican las transformaciones unitarias $U_A = \bigl[\begin{smallmatrix} \cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)& \cos(\alpha) \end{smallmatrix}\bigr]$ y $U_B = \bigl[\begin{smallmatrix} \cos(\beta)& -\sin(\beta)\\\sin(\beta)& \cos(\beta) \end{smallmatrix}\bigr]$, que se corresponden a rotaciones con dos ángulos secretos $\alpha$ y $\beta$, respectivamente.

• Demuestre que estas transformaciones son conmutativas, es decir, que $U_A U_B = U_B U_A$.

import numpy as np

• Asuma ahora que $\alpha = \pi/4$ y que $\beta = -\pi/3$. Determine los estados intermedios del protocolo de doble llave para la transmisión segura de un estado $\rho_A = \bigl[\begin{smallmatrix} 3/4& 0\\ 0 & 1/4 \end{smallmatrix}\bigr]$.

# Definimos las matrices de rotación

# Definimos el estado inicial

# Realizamos los pasos de protocolo de doble llave