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Ejercicio 4.1: Medida de la polarización de un fotón

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}$Considere un proceso de medida de la polarización de un fotón \begin{align*} \rho = \ket{\pi/4}\bra{\pi/4}, \text{ donde } \ket{\theta} = \biggl[\begin{matrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{matrix}\biggr]. \end{align*} con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$.

Defina a continuación la matriz de densidad de probabilidad $\rho$:

1. Obtenga las probabilidades de observar $\leftrightarrow$ y $\updownarrow$ en este proceso de medida.

1. Obtenga el nuevo estado $\rho'$ si se realiza la medida $\{\leftrightarrow, \updownarrow\}$, pero no se observa su resultado.

1. Compare el nuevo estado $\rho'$ con el correspondiente estado original $\rho$ y explique el resultado.