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Ejercicio 9.1: Ortogonalidad en la codificación supedensa

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Utilizando un entorno de programación, genere los estados $\delta_m^{BB}$, $m=0,1,2,3$:

\begin{align*} \delta_{0}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],\quad \delta_{1}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \delta_{2}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &-1 & 0\\ 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \delta_{3}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}

# Generamos los estados:

1. Compruebe que estos estados son ortogonales entre sí: $\text{Tr}\bigl[\delta_i^{BB} \delta_j^{BB}\bigr] = 0$ para $i\neq j$.

# Comprobamos que todos los productos cruzados son 0:

1. Obtenga las probabilidades de los posibles observables si aplicamos una medida con el POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\bigr\}$ al estado $\delta_3^{BB}$.

# Definimos el POVM:

# Aplicamos la medida: