ejercicio-7.2-python

Ejercicio 7.2: Verificación experimental de la desigualdad CHSH¶

$\newcommand{\ket}[1]{|{#1}\rangle}\newcommand{\bra}[1]{\langle{#1}|}$Utilizando un entorno de programación matemática, simule el experimento CHSH:

bell-experiment

Estado entrelazado. Construimos el estado conjunto $\{\rho,\sigma\}$ generado por la fuente de fotones, definido por la matriz de densidad de probabilidad \begin{align*} \delta_{\phi} = (\boldsymbol{I}_2 \otimes \boldsymbol{U}_{\phi}) \,\delta_0\, (\boldsymbol{I}_2 \otimes \boldsymbol{U}_{\phi})^H, \end{align*} donde $\phi\in[0,\pi]$ es un parámetro ajustable, $\boldsymbol{I}_2$ denota la matriz identidad, $\boldsymbol{U}_{\phi}$ está dada por

\begin{align*} \boldsymbol{U}_{\phi} = \begin{bmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi)\\ -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{bmatrix}, \end{align*}

$\quad\;\;$y $\delta_0$ se corresponde con el estado EPR de máximo entrelazamiento,

\begin{align*} \delta_0 &= \frac{1}{2} \bigl(\ket{00} + \ket{11} \bigr)\bigl(\bra{00} + \bra{11}\bigr) = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}

In [1]:

import numpy as np

def generate_delta_phi(phi):
    """
    Generates the density matrix delta_phi as a function of phi.

    Parameters:
        phi (float): Angle in radians in the range [0, pi].

    Returns:
        numpy.ndarray: 4x4 probability density matrix delta_phi.
    """

Preparación de las matrices de medida. Consideremos los POVM $\bigl\{\Pi_0, \Pi_1\bigr\}$ y $\bigl\{\Pi_+, \Pi_-\bigr\}$, con

\begin{align*} \Pi_0 = \left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right],\qquad \Pi_1 = \left[\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right],\qquad \Pi_{+} = \tfrac{1}{2}\left[\begin{matrix} +1 & +1\\ +1 & +1 \end{matrix}\right],\qquad \Pi_{-} = \tfrac{1}{2}\left[\begin{matrix} +1 & -1\\ -1 & +1 \end{matrix}\right]. \end{align*}

Estas medidas se corresponden con las bases horizontal/vertical, y diagonal/diagonal cruzada, respectivamente. Por tanto, las medidas asociadas a las variables aleatorias $A$, $B$, $X$ e $Y$ del experimento estarían dadas por:

\begin{align*} &\text{POVM}_A = \bigl\{\Pi_0 \otimes \boldsymbol{I}_2,\; \Pi_1 \otimes \boldsymbol{I}_2\bigr\}, \quad\;\;\text{(Alice mide horizontal/vertical)}\\ &\text{POVM}_B = \bigl\{\boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_0,\; \boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_1\bigr\}, \quad\;\;\text{(Bob mide horizontal/vertical)}\\ &\text{POVM}_X = \bigl\{\Pi_{+} \otimes \boldsymbol{I}_2,\; \Pi_{-} \otimes \boldsymbol{I}_2\bigr\},\quad\,\text{(Alice mide diagonal/diagonal cruzada)}\\ &\text{POVM}_Y = \bigl\{\boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_{+},\; \boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_{-}\bigr\}.\quad\;\,\text{(Bob mide diagonal/diagonal cruzada)} \end{align*}

In [3]:

Medidas de las variables $(A,B)$, $(A,Y)$, $(X,B)$ y $(X,Y)$: Determine las probabilidades de obtener todas las posibles combinaciones $(+1,+1)$, $(+1,-1)$, $(-1,+1)$, $(-1,-1)$, en cada una de estas medidas sobre el estado $\delta_{\phi}$. Tenga en cuenta que tras aplicar una medida Alice, el estado debe colapsar antes de que Bob aplique la medida en su parte del estado.

$\quad\;\;$Utilice estas probabilidades para calcular las esperanzas:

\begin{align*} \text{E}\bigl[ AB \bigr] &= 1 \cdot P_{AB}(1,1) - 1 \cdot P_{AB}(1,-1) - 1 \cdot P_{AB}(-1,1) + 1 \cdot P_{AB}(-1,-1),\\ \text{E}\bigl[ AY \bigr] &= 1 \cdot P_{AY}(1,1) - 1 \cdot P_{AY}(1,-1) - 1 \cdot P_{AY}(-1,1) + 1 \cdot P_{AY}(-1,-1),\\ \text{E}\bigl[ XB \bigr] &= 1 \cdot P_{XB}(1,1) - 1 \cdot P_{XB}(1,-1) - 1 \cdot P_{XB}(-1,1) + 1 \cdot P_{XB}(-1,-1),\\ \text{E}\bigl[ XY \bigr] &= 1 \cdot P_{XY}(1,1) - 1 \cdot P_{XY}(1,-1) - 1 \cdot P_{XY}(-1,1) + 1 \cdot P_{XY}(-1,-1). \end{align*}

In [3]:

Comprobación de la desigualdad de CHSH. Considere la variable aleatoria $Z$ definida como $Z = A B + X B + X Y - A Y$, con valor medio \begin{align*} \text{E}[Z] = \text{E}\bigl[ AB \bigr] + \text{E}\bigl[ XB\bigr] + \text{E}\bigl[ XY \bigr] - \text{E}\bigl[ AY \bigr]. \end{align*} Para comprobar la desigualdad de CHSH, muestre en una gráfica la función $f(\phi) = \text{E}[Z]$ para una rejilla de valores $\phi\in[0,\pi]$, junto con los umbrales de la desigualdad $-2 \leq f(\phi) \leq 2$.

Determine el valor o valores de $\phi$ dónde se inclumple esta desigualdad.

¿Cuál es el valor máximo de $f(\phi)$?

In [ ]: