{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "e5e44fb3", "metadata": {}, "source": [ "## Ejercicio 9.2: Simulación del teletransporte cuántico" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "71cd75b7", "metadata": {}, "source": [ "$\\newcommand{\\ket}[1]{|{#1}\\rangle}\\newcommand{\\bra}[1]{\\langle{#1}|}$Utilizando un entorno de programación matemática, simule el protocolo de teletransporte cuántico para transmitir el estado:\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\mu = \\begin{bmatrix} 3/4 & 1/8\\\\ 1/8 & 1/4 \\end{bmatrix}.\n", "\\end{align*}" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "360c36ed", "metadata": {}, "source": [ "*Definimos el estado a transmitir:*" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 28, "id": "4ee09e72", "metadata": {}, "outputs": [ { "name": "stdout", "output_type": "stream", "text": [ "mu =\n", "\n", " 0.7500 0.1250\n", " 0.1250 0.2500\n", "\n" ] } ], "source": [ "mu = [3/4, 1/8; 1/8, 1/4]" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8317822a", "metadata": {}, "source": [ "*El protocolo de teletransporete está ilustrado en el siguiente diagrama de bloques:*\n", "\n", "\"Diagrama\n", "\n", "*Vamos a simular el protocolo de teletransporte paso a paso:*\n", "\n", "**Paso 1:** Alice y Bob comparten un ebit formado por $\\rho^A$ y $\\sigma^B$, descrito por el estado compuesto\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\delta^{AB} = \\dfrac{1}{2} \\left[\\begin{smallmatrix}\n", " 1 & 0 & 0 & 1\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 1 & 0 & 0 & 1 \\end{smallmatrix}\\right].\n", "\\end{align*}" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "id": "e51496e6", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Generamos el estado entrelazado compartido:\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "26fe0e28", "metadata": {}, "source": [ "**Paso 2:** Alice tiene acceso al cúbit $\\mu^A = \\mu$ a transmitir y aplica una medida conjunta sobre $\\mu^A$ y su parte $\\rho^A$ del ebit compartido utilizando el POVM $\\bigl\\{\\Pi_{0}, \\Pi_{1}, \\Pi_{2}, \\Pi_{3}\\bigr\\}$ visto en el protocolo de codificación superdensa, tal que\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\Pi_{0} = \\dfrac{1}{2} \\left[\\begin{smallmatrix}\n", " 1 & 0 & 0 & 1\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 1 & 0 & 0 & 1 \\end{smallmatrix}\\right],\\quad\n", " \\Pi_{1} = \\dfrac{1}{2} \\left[\\begin{smallmatrix}\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 0 & 1 & 1 & 0\\\\\n", " 0 & 1 & 1 & 0\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0 \\end{smallmatrix}\\right],\\quad\n", " \\Pi_{2} = \\dfrac{1}{2} \\left[\\begin{smallmatrix}\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 0 & 1 &-1 & 0\\\\\n", " 0 &-1 & 1 & 0\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0 \\end{smallmatrix}\\right],\\quad\n", " \\Pi_{3} = \\dfrac{1}{2} \\left[\\begin{smallmatrix}\n", " 1 & 0 & 0 &-1\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " 0 & 0 & 0 & 0\\\\\n", " -1 & 0 & 0 & 1 \\end{smallmatrix}\\right].\n", "\\end{align*}\n", "\n", "Para poder modelar esta medida, es necesario considerar el estado del sistema completo, dado por \n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\theta^{AAB} = \\mu^A\\otimes\\delta^{AB}.\n", "\\end{align*}\n", "\n", "En la medida Alice observa un resultado $m\\in\\{0,1,2,3\\}$, por lo que el estado conjunto pasa a ser\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\theta^{AAB}_m = \\frac{1}{p_m}\\bigl( \\Pi_{m} \\otimes I_2\\bigr) \\theta^{AAB}\n", " \\bigl( \\Pi_{m}^H \\otimes I_2\\bigr).\n", "\\end{align*}" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "id": "03e0cf41", "metadata": { "scrolled": true }, "outputs": [], "source": [ "# Generamos el estado conjunto incluyendo el estado muA y el ebit compartido\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 3, "id": "2121b9c1", "metadata": { "scrolled": false }, "outputs": [], "source": [ "# Definimos el POVM para la medida\n", "\n", "# Aplicamos la medida. El estado resultante en función del valor observado es\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7e46cf38", "metadata": {}, "source": [ "**Paso 3:** Alice envía el resultado de la medida $m\\in\\{0,1,2,3\\}$ (equivalente a dos bits de información clásica)\n", "a Bob utilizando dos usos de un canal clásico ideal, por lo que Bob conoce a cuál de las 4 opciones ha colapsado el sistema." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "32f9c1fb", "metadata": {}, "source": [ "**Paso 4:** En función del valor de $m$ recibido, Bob aplica una puerta de Pauli $\\{I,X,Y,Z\\}$ a su parte $\\sigma^B$ del\n", "estado global $\\theta^{AAB}_m$. Para modelar este proceso, definimos las matrices unitarias correspondientes al\n", "sistema completo:\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " &U_0^{AAB} = I_2 \\otimes I_2 \\otimes I,\\quad\n", " &U_1^{AAB} = I_2 \\otimes I_2 \\otimes X,\\\\\n", " &U_2^{AAB} = I_2 \\otimes I_2 \\otimes Y,\\quad\n", " &U_3^{AAB} = I_2 \\otimes I_2 \\otimes Z,\n", "\\end{align*}\n", "\n", "y obtenemos el nuevo estado tras aplicar la transformación correspondiente\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\phi^{AAB}_m = U_m^{AAB} \\theta^{AAB}_m \\bigl(U_m^{AAB}\\bigr)^H,\\quad m=0,1,2,3.\n", "\\end{align*}" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 24, "id": "a05f194e", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Preparamos las transformaciones a aplicar al estado completo\n", "\n", "# Aplicamos la transformación correspondiente para cada valor de m\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "472140be", "metadata": {}, "source": [ "**Paso 5:** Como resultado de aplicar esta operación, la parte $\\sigma^B$ del estado compuesto se transforma en el estado $\\mu$\n", "que se desaba transmitir. Para ver esto marginalizamos el estado compuesto $\\phi^{AAB}_m$ por medio de la traza parcial\n", "\n", "\\begin{align*}\n", " \\sigma_m^B = \\text{Tr}_{AA} \\bigl[ \\phi^{AAB}_m \\bigr],\n", "\\end{align*}\n", "\n", "y se puede comprobar que $\\sigma_m^B = \\mu$.\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 6, "id": "f0875c3f", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# La marginalización de las dos partes de Alice se puede llevar a cabo con esta operación:\n", "function [sigmaB] = traceAA(phiAAB)\n", " sigmaB = phiAAB(1:2,1:2) + phiAAB(3:4,3:4) + phiAAB(5:6,5:6) + phiAAB(7:8,7:8);\n", "end \n", "\n", "# La aplicamos para cada una de las posibilidades\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "85d0c851", "metadata": {}, "source": [ "**Cuestión 1.** Compruebe que el estado de salida $\\mu^B$ coincide con el estado original." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 5, "id": "204ca002", "metadata": { "scrolled": true }, "outputs": [], "source": [ "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "94c1b5e6", "metadata": {}, "source": [ "**Cuestión 2.** Compruebe que el estado original se ha destruido en el proceso.\n", "\n", "*Para ver como ha quedado la parte $\\mu^A$ en Alice, es necesario descartar la parte $\\rho^A$ y $\\sigma^B$ del sistema completo. Esto se puede hacer con la siguinete operación de traza parcial:*" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 9, "id": "f2f5d36f", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "function [muA] = traceAB(phiAAB)\n", " muA = [trace(phiAAB(1:4,1:4)), trace(phiAAB(1:4,5:8)); trace(phiAAB(5:8,1:4)), trace(phiAAB(5:8,5:8))];\n", "end\n", "\n", "# La aplicamos para cada una de las posibilidades\n" ] } ], "metadata": { "celltoolbar": "Raw Cell Format", "kernelspec": { "display_name": "Octave", "language": "octave", "name": "octave" }, "language_info": { "file_extension": ".m", "help_links": [ { "text": "GNU Octave", "url": "https://www.gnu.org/software/octave/support.html" }, { "text": "Octave Kernel", "url": "https://github.com/Calysto/octave_kernel" }, { "text": "MetaKernel Magics", "url": "https://metakernel.readthedocs.io/en/latest/source/README.html" } ], "mimetype": "text/x-octave", "name": "octave", "version": "8.2.0" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }