C4-Decisor

El criterio general para el diseño del receptor (que consiste en establecer las denominadas regiones de decisión) es el criterio de máximo a posteriori. De acuerdo a este criterio, la decisión que minimiza la probabilidad de error sobre los símbolos decididos es decidir el símbolo con una mayor probabilidad a posteriori dada la observación

Una aplicación directa de la regla de Bayes sobre la definición de la probabilidad condicional que es la probabilidad a posteriori del símbolo transmitido dada la observación lleva a que esa probabilidad a posteriori de un cierto símbolo es proporcional al producto de la probabilidad de transmisión de dicho símbolo con la distribución condicional de la observación dado que se ha transmitido dicho símbolo. Es decir, que la condición anterior sobre las distribuciones a posteriori para que el símbolo decidido sea el de índice i se traduce en la condición

donde se ha tenido en cuenta que hay una relación unívoca entre símbolos y representaciones vectoriales de las señales a través de sus índices, es decir

Por tanto, como el diseño del decisor consiste en establecer las regiones de decisión, la región de decisión del símbolo de índice i estará compuesta por todos los puntos del espacio de observación N-dimensional que cumplan dicha condición

Cuando los símbolos se transmiten todos con la misma probabilidad, las probabilidades de transmisión de cada símbolo pasan a ser irrelevantes en la comparación que aparece en el criterio general de máximo a posteriori (ver la pregunta anterior y su respuesta). El criterio que se aplica en ese caso se denomina criterio de máxima verosimilitud, o criterio ML (del inglés Maximum Likelihood), y la condición que debe cumplir la observación para decidir que el símbolo transmitido es el de índice i (o lo que es lo mismo, que un valor de observación pertenece a la región de decisión de dicho símbolo) es ahora

El nombre del criterio se debe a que ahora la comparación se reduce a las distribuciones condicionales de la observación para cada símbolo de la constelación, y a estas distribuciones condicionales se les denominan funciones de verosimilitud del símbolo para un valor de observación. 

Si los símbolos son equiprobables hemos visto en la respuesta a la pregunta anterior que se puede utilizar el criterio de máxima verosimilitud para realizar el diseño del decisor, y que ese criterio implica la comparación entre las distribuciones condicionales de la observación para cada símbolo de la constelación transmitida. En el caso de una transmisión sobre un canal gausiano, esa distribución condicional es una gausiana de media el vector de la constelación que se ha transmitido, y varianza N₀/2 en todas las direcciones del espacio

Por tanto, el diseño del receptor consiste en comparar para cada posible punto del espacio de observación gausianas centradas en cada uno de los vectores que forman la constelación del sistema. Y para un cierto punto del espacio de observación, la gausiana que tenga un mayor valor, dada la monotonicidad de una función gausiana, será aquella cuya media (punto de la constelación) esté más cerca del valor de observación. Por lo tanto, el criterio de diseño del decisor se reduce a un criterio de mínima distancia euclídea, y la región de decisión de un cierto símbolo estará formada por aquellos puntos del espacio de observación que estén más cercanos a la respresentación vectorial de dicho símbolo que a la representación vectorial de cualquier otro símbolo de la constelación, es decir

La probabilidad de error de símbolo se obtiene promediando las probabilidades de error de símbolo condicionales, es decir, las probabilidades de error de símbolo que se tienen cuando se transmite cada uno de los posibles símbolos de la constelación

La probabilidad de error condicional para un cierto símbolo se obtiene integrando la distribución condicional de la observación a la salida del demodulador bajo la transmisión de dicho símbolo fuera de su región de decisión

Teniendo en cuenta que cuando se transmite un símbolo se comete un error en la decisión cuando la observación cae fuera de la región de decisión, y que la distribución condicional proporciona la distribución de la observación cuando se transmite dicho símbolo, esa integral proporciona la probabilidad de que una observación que tiene esa distribución condicional tome valores fuera de la región de decisión de propio símbolo. 

La aproximación habitual es la siguiente

donde d_min denota la distancia mínima entre dos símbolos de la constelación, y la constante k denota el máximo valor del número de símbolos que hay a mínima distancia de cada símbolo de la constelación. 

La interpretación de esta aproximación es que la mayor parte de los errores en la decisión cuando se transmite un cierto símbolo es con símbolos que están a mínima distancia (los errores más probables son con los símbolos más cercanos), y que los símbolos con mayor probabilidad de error son aquellos que tienen un mayor número de símbolos a mínima distancia, por lo que es la probabilidad de error de estos símbolos la que domina en la expresión de la probabilidad de error media. 

El el caso de la cota de la unión, la probabilidad de error condicional para cada símbolo se acota por la suma de las probabilidades de error que se tendrían bajo ruido gausiano cuando se tienen M-1 sistemas binarios, los sistemas en los que estaría ese símbolo con cada uno de los restantes símbolos de la constelación. De este modo, la cota para la probabilidad de error  condicional queda expresada como la suma de la función Q(x) evaluada en la distancia de dicho símbolo con respecto a cada uno de los restantes símbolos de la constelación, dividida por dos, y dividida por la raíz cuadrada de la varianza del ruido, que es N₀/2. Luego, se promedia el valor obtenido sobre la cota para cada una de las probabilidades condicionales de error, con lo que queda la expresión

La cota holgada es una particularización de la cota de la unión en la que se hace la simplificación de considerar que cada símbolo de la constelación tienen a los restantes M-1 símbolos a mínima distancia, lo que es una consideración pesimista para la estima de la probabilidad de error, ya que algunos de los símbolos tendrán una separación mayor que la asumida. En ese caso, la expresión de la cota es muy sencilla

La cota de la unión es una cota más ajustada que la cota de la unión (acota el valor real de la probabilidad de error mediante un valor más cercano al real que en el caso de la cota holgada). 

La probabilidad de error de bit se obtiene de forma similar a la probabilidad de error de símbolo: se promedia la probabilidad de error de bit condicional para cada símbolo de la constelaicón

La diferencia consiste en el cálculo de la probabilidad de error de bit condicional, que ahora va a depender de la asignación binaria (la probabilidad de error de símbolo dependía únicamente de la constelación transmitida, pero no de la asignación binaria). Ahora, cuando se considera la transmisión de un símbolo, hay que promediar la probabilidad de equivocarse en la decisión de símbolo con cada uno de los restantes símbolos de la constelación, y ponderar esta probabilidad teniendo en cuenta el número de errores de bit que conlleva cada posible error a nivel de símbolos (que es lo que depende de la asignación binaria). 

donde

La aproximación es que la probabilidad de error de bit es igual a la probabilidad de error de símbolo dividida por el número de bits por símbolo  (m) del sistema (que es igual al logaritmo en base dos del número de símbolos que forman la constelación del sistema). Esta aproximación se basa en que los errores más habituales a nivel de símbolo se producen entre símbolos que están a mínima distancia, y en el caso de una asignación binaria basada en la codificación de Gray, la asignación binaria para este tipo de símbolos difiere únicamente en un bit, por lo que se produce un error de bit sobre los m bits que transporta el símbolo.