C2-Variable aleatoria | Teoría de la Comunicación - Capítulo 2

Preguntas teóricas sobre una variable aleatoria

Se tiene una variable aleatoria con función densidad de probabilidad f_X(x).

Indique cómo se calcula la media de la variable aleatoria a partir de su función densidad de probabilidad.

Solution:

La media se calcula teniendo en cuenta que esta se define como la esperanza matemática del valor de la variable aleatoria, de modo que se obtiene como

Indique cómo se calcula la varianza de la variable aleatoria a partir de su función densidad de probabilidad.

Solution:

La varianza se calcula teniendo en cuenta que esta se define como el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre el valor de la variable aleatoria y su media, por lo que se obtiene como

Indique cómo se calcula la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en un cierto intervalo A

Solution:

Dicha probabilidad se obtiene integrando la función densidad de probabilidad de la variable aleatoria en el intervalo especificado

Indique cómo se obtiene el valor esperado de una función de la variable aleatoria, es decir, el valor esperado de g(X)

Solution:

El valor esperado de una función de una variable aleatoria se obtiene integrando el producto de la expresión de la función por la función densidad de probabilidad condicional

Preguntas teóricas sobre dos variables aleatorias

Se tienen dos variables aleatorias, X e Y.

Explique claramente, cuando las variables aleatorias son independientes.

Solution:

Las variables aleatorias son independientes si la distribución condicional de una de ellas dada la otra es igual a la distribución marginal de la primera

Explique claramente, cuando las variables aleatorias están incorreladas.

Solution:

Dos variables aleatorias están incorreladas cuando su covarianza es nula (es importante resaltar que la definición de incorrelación entre varibales aleatorias, está ligada al valor de la función de covarianza ente ambas variables aleatorias, y no a la función de correlación cruzada). Si la función de covarianza es nula, también lo es el coeficiente de correlación entre ambas variables aleatorias, ya que el coeficiente de correlación no es más que la covarianza normalizada (es la covarianza dividida entre el producto de las desviaciones típicas de cada una de las dos variables aleatorias, de modo que el valor resultante está entre -1 y +1).

Si dos variables aleatorias son independientes, ¿implica esto en general que las dos variables aleatorias están incorreladas?

Solution:

Sí. La independencia entre variables aleatorias siempre implica la incorrelación entre las mismas.

Si dos variables aleatorias están incorreladas, ¿implica esto en general que las variables aleatorias son independientes?

Solution:

No. En general la incorrelación entre variables aleatorias no garantiza la independencia entre las mimas (la restricción de independencia estadística es más fuerte que la de incorrelación).

Esta situación sólo se produce en el caso de variables aleatorias conjuntamente gausianas, en cuyo caso incorrelación e independencia son equivalentes.