4 Medida de un estado cuántico

Hasta ahora, hemos definido un modelo matemático que permite describir un estado cuántico. Resulta útil pensar en este estado cuántico como una caja cerrada, de la que no tenemos información hasta que interaccionamos con ella. Esta interacción se realiza mediante un proceso de medida (equivalente a abrir esa caja) para obtener información acerca de alguna propiedad del sistema:

4.1 Proceso de medida y colapso

Una medida de un estado cuántico puede distinguir entre varios posibles resultados, denominados observables. El proceso de medida se describe mediante un conjunto de operadores $\{\Pi_i\}$ que deben cumplir las siguientes propiedades:

• Deben ser semidefinidas positivas, $\Pi_i \succeq 0$.
• Deben sumar la identidad, $\sum_i \Pi_i = \boldsymbol{I}$.

Este conjunto de operadores se denomina Positive Operator-Valued Measure (POVM).

Cuando se aplica una medida a un sistema cuántico descrito por una matriz de densidad $\rho$, el resultado de la medida es una variable aleatoria discreta cuyo valor pertenece al conjunto de posibles resultados $\{i\}$. La probabilidad de observar el resultado $i$ viene dada por la regla de Born, $$\begin{align*} \Pr\{i\} = \text{Tr}[\Pi_i \rho]. \end{align*}$$

Veremos varios ejemplos concretos en las siguientes secciones.

Operadores de Kraus

Además de determinar las probabilidades de los diferentes observables, una medida cuántica también describe cómo evoluciona el estado del sistema tras la interacción con el aparato de medida. Para ello, cada operador del POVM admite al menos una descomposición en términos de operadores de Kraus $\{K_{i}\}$ tales que

$$\begin{align*} \Pi_i = K_{i}^\dagger K_{i}. \end{align*}$$

Esta descomposición no es única y los operadores de Kraus no tienen por qué ser hermíticos ni autoadjuntos. Utilizando esta representación, la regla de Born puede escribirse como $$\begin{align*} \Pr\{i\} = \text{Tr}[\Pi_i \rho] = \text{Tr}[K_{i} \rho K_{i}^\dagger]. \end{align*}$$

Colapso del estado cuántico

Como hemos visto en la Sección 2, al aplicar una medida a un sistema cuántico se modifica el estado del mismo.

Si el resultado observado de la medida es $m$, el estado del sistema tras la medida queda condicionado a dicho resultado y pasa a ser $$\begin{align*} \rho \quad\xrightarrow{\text{resultado } m}\quad \rho_m' = \frac{K_{m} \rho K_{m}^\dagger} {\Pr\{m\}} = \frac{K_{m} \rho K_{m}^\dagger} {\text{Tr}[K_{i} \rho K_{i}^\dagger]}. \end{align*}$$

Si el resultado de la medida no se registra o se ignora, el estado final del sistema corresponde al promedio probabilístico sobre todos los posibles resultados. En este caso, el estado evoluciona a $$\begin{align*} \rho' = \sum_i \Pr\{i\} \rho_i' = \sum_{i} K_{i} \rho K_{i}^\dagger. \end{align*}$$ Así, el proceso de medida modifica el estado del sistema incluso cuando el resultado concreto de la medida es desconocido. Este fenómeno se conoce habitualmente como colapso del estado cuántico.

4.2 Medida de un bit aleatorio

Como primer ejemplo, consideramos la variable aleatoria binaria $X\in\{0,1\}$ con una distribución Bernoulli con parámetro $p$. En la Sección 3.4 hemos visto que la matriz de densidad de probabilidad corrrespondiente está dada por: $$\begin{align*} \rho_X = \biggl[\begin{matrix}1-p & 0\\ 0 & p\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ El proceso de medida asociado a este estado tiene naturalmente dos posibles resultados u observables, correspondientes a los valores $0$ y $1$ (por ejemplo, lanzar una moneda y observar el resultado). Estos resultados pueden describirse mediante el POVM formado por los operadores $$\begin{align*} \Pi_0= \ket{0}\!\bra{0} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr],\qquad \Pi_1= \ket{1}\!\bra{1} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Se puede comprobar que se cumplen las propiedades $\Pi_{\ell}\succeq 0$, $\ell=0,1$, y $\sum_{\ell=0,1} \Pi_{\ell} = \boldsymbol{I}$.

Una realización de una variable aleatoria binaria, al igual que el resultado de un proceso de medida de un estado cuántico binario, solo ofrece dos posibles valores: el resultado es o bien ‘0’ o bien ‘1’. De acuerdo con el modelo descrito, para el estado definido por $\rho_X$, la probabilidad de observar un ‘1’ en este experimento es $$\Pr\{X=1\} = \text{Tr}[\Pi_1 \rho_X] = p,$$ mientras que la probabilidad de observar un ‘0’ es $$\Pr\{X=0\} = \text{Tr}[\Pi_0 \rho_X] = 1-p,$$ que coinciden con las de una distribución Bernoulli con parámetro $p$, como era de esperar.

Se debe tener en cuenta que el proceso de medida afecta al estado, incluso para variables aleatorias clásicas. Para ilustrar este punto, consideramos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.1 En un sobre se introduce aleatoriamente un disco de color blanco o negro con una cierta probabilidad. El sobre se cierra a continuación sin conocer cuál es su contenido:

Como inicialmente no conocemos qué hay dentro del sobre, este experimento se puede modelar como una variable aleatoria $X$ de acuerdo a una Bernoulli con parametro $p$. Ahora, imaginemos que abrimos el sobre, observamos su contenido y lo volvemos a cerrar. La primera vez que hacemos este proceso podemos observar ‘blanco’ o ‘negro’ de forma aleatoria.

Sin embargo, una vez realizada esta observación (o medida) el contenido del sobre ya es conocido, y por mucho que lo cerremos y lo volvamos a abrir varias veces, su contenido ya no cambiará. De esta forma, después de la primera observación, la variable aleatoria $X$ pasa ser determinista al estar en un estado definido.

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Nuestro modelo matemático permite caracterizar esta propiedad en el proceso de medida. Como $\Pi_0$ y $\Pi_1$ son projectores, se cumple que $\Pi_i = \Pi_i^2 = \Pi_i^H \Pi_i$ y podemos tomar simplemente los operadores de Kraus $K_i = \Pi_i$, $i=0,1$. La nueva matriz de densidad de probabilidad del estado tras el proceso de medida queda: $$\begin{align*} \rho'_{X=0} &= \frac{K_{0} \rho_X K_{0}^H}{\text{Tr}[K_{0} \rho_X K_{0}^H]} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr] &\text{(si se ha observado $X=0$),}\\ \rho'_{X=1} &= \frac{K_{1} \rho_X K_{1}^H}{\text{Tr}[K_{1} \rho_X K_{1}^H]} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr] &\text{(si se ha observado $X=1$).} \end{align*}$$ Es decir, la variable aleatoria pasa a tomar un valor determinista que coincide con el estado observado.

Por otra parte, si realizamos la medida (abrimos el sobre) pero sin observar su resultado, el valor de $X$ seguiría siendo desconocido y por tanto aleatorio. La nueva matriz de densidad de probabilidad tras la medida pasaría a ser en este caso: $$\begin{align*} \rho_X' &= K_0\rho_X K_0^H + K_1\rho_X K_1^H= \biggl[\begin{matrix}1-p & 0\\ 0 & p\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Concluimos que el proceso de medida (sin observar el contenido del sobre) no ha afectado al estado, ya que $\rho_X'=\rho_X$. A pesar de que esto último puede parecer intuitivo, veremos que en el caso de aplicar una medida a un estado cuántico, ésta puede afectar al estado incluso si no observamos su resultado.

4.3 Midiendo la polarización de un fotón

Vamos a estudiar el proceso de medida de la polarización de un fotón planteado en la Sección 2:

Como hemos visto, un fotón polarizado linealmente con ángulo $\theta$ se puede modelar como $\ket{\theta} = \bigl[\begin{smallmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{smallmatrix}\bigr]$, con una matriz de densidad de probabilidad asociada $$\begin{align*} \rho = \ket{\theta}\!\bra{\theta} = \biggl[\begin{matrix} \cos(\theta)^2 & \cos(\theta)\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\sin(\theta) & \sin(\theta)^2 \end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$

Planteamos un proceso de detección que discrimina entre las dos polarizaciones ortogonales $\leftrightarrow$ y $\updownarrow$. La polarización $\leftrightarrow$ está asociada a un ángulo de medida $0$, mientras que la polarización $\updownarrow$ está asociada a un ángulo de medida $\pi/2$. Por tanto, definimos el POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$ donde $$\begin{align*} \Pi_{\leftrightarrow} = \ket{0}\!\bra{0} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr],\qquad \Pi_{\updownarrow} = \ket{\pi/2}\!\bra{\pi/2} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$

Al aplicar el POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$ al fotón $\rho$, obtenemos una observación binaria ya que el resultado de la medida puede ser bien la polarización ‘$\leftrightarrow$’ o la polarización ‘$\updownarrow$’. De acuerdo a nuestro modelo matemático, las probabilidades de observar ‘$\leftrightarrow$’ o ‘$\updownarrow$’ están dadas respectivamente por $$\begin{align*} \Pr\{\leftrightarrow\} &= \text{Tr}\bigl[\Pi_{\leftrightarrow} \rho\bigr] = \cos(\theta)^2,\\ \Pr\{\updownarrow\} &= \text{Tr}\bigl[\Pi_{\updownarrow} \rho\bigr] = \sin(\theta)^2. \end{align*}$$

Ejercicio 4.1 Considere un proceso de medida de la polarización de un fotón $$\begin{align*} \rho = \ket{\pi/4}\!\bra{\pi/4}, \text{ donde } \ket{\theta} = \biggl[\begin{matrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$.

1. Obtenga las probabilidades de observar $\leftrightarrow$ y $\updownarrow$ en este proceso de medida.
2. Obtenga el nuevo estado $\rho'$ si se realiza la medida $\{\leftrightarrow, \updownarrow\}$, pero no se observa su resultado.
3. Compare el nuevo estado $\rho'$ con el correspondiente estado original $\rho$ y explique el resultado.

 Jupyter notebooks: Octave, Python

A partir del ejercicio anterior comprobamos que el proceso de medida puede modificar el estado del fotón incluso sin observar su resultado. Esto es lo que se conoce como colapso de la función de onda, y es una de las características diferenciales de un sistema cuántico.

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Al comienzo de esta sección introdujimos la analogía de un estado cuántico como una caja cerrada cuyo contenido desconocemos, y asociábamos la medida cuántica con el proceso de abrir dicha caja para obtener información sobre el sistema.

La idea fundamental para entender los sistemas cuánticos es que, a diferencia de lo que ocurre en el caso clásico, no existe una única forma de realizar la medida. El tipo de información que obtenemos en el proceso de medida depende del POVM $\bigl\{\Pi_i\bigr\}$ utilizado . En otras palabras, antes de “abrir la caja” debemos decidir cómo la vamos a abrir, es decir, qué propiedad del sistema queremos observar. Por ejemplo, en el proceso de medida de la polarización de un fotón, podríamos elegir el POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$ para distinguir entre polarizaciones horizontal y vertical. Alternativamente, podríamos emplear otro POVM diferente, como $\bigl\{\Pi_{\circlearrowleft}, \Pi_{\circlearrowright}\bigr\}$, que permite discriminar entre polarización circular izquierda y circular derecha:

En general, no existen únicamente dos formas de “abrir la caja”, sino que hay infinitas posibles elecciones de POVM, cada una asociada a un modo distinto de extraer información del sistema. Esta libertad en la elección de la medida es una de las características más distintivas de la teoría cuántica y no tiene un análogo directo en los sistemas clásicos. Además, es importante recordar que el propio acto de abrir la caja modifica su contenido, ya que el proceso de medida altera el estado cuántico, incluso si no conocemos su resultado.