7 Desigualdades de Bell

En el modelo matemático que hemos introducido en las secciones anteriores, a pesar de que un sistema se encuentre en un estado definido, su medida es en general aleatoria y sólo podemos calcular las probabilidades de cada uno de los posibles resultados. Para Albert Einstein y otros científicos, la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica mostraba que este modelo estaba incompleto, y desembocó en la publicación de un famoso artículo de 1935 escrito por Einstein, Podolsky y Rosen (Einstein et al. 1935). La realidad física debía seguir un modelo determinista y los resultados aleatorios predichos por la mecánica cuántica sólo era debido a qué faltaba algo en el modelo considerado. Recordemos la cita atribuída a Einstein:

Dios no juega a los dados.

Aunque en las decadas siguientes hubo un gran debate filosófico sobre este tema, nadie consideraba realmente que se pudiera resolver de una forma científicamente rigurosa. Y es que la cuestión subyacente era sutil. Utilizando la analogía del estado cuántico con una caja cerrada, la pregunta sería la siguiente: ¿su estado interno no está definido hasta el momento de abrir la caja? ¿o la caja sí tiene un estado definido pero no sabemos cuál es antes de abrirla?

Es fácil darse cuenta de que, a efectos de un observador que abre la caja, no existe ninguna diferencia entre las dos situaciones: en ambos casos no puede ver el interior de la caja antes de abrirla, y cuando la abre, se observa un estado definido.

7.1 El Teorema de Bell

No sería hasta décadas más tarde cuando en 1964 el físico John Stewart Bell propuso una posible comprobación experimental (Bell 1964) que pretendía zanjar el debate si los estados cuánticos estaban o no definidos antes de su observación. Para ello Bell partió de dos premisas muy concretas:

• Localidad: La realidad es “local” y para dos procesos físicamente separados, uno de ellos no puede modificar el estado del otro.
• Realidad: En un instante dado estas variables presentan un estado definido, aunque es posible que no lo conozcamos porque no sea observable o porque nuestro modelo sea incompleto.

Con estas premisas propuso un experimento que permitiría establecer el siguiente resultado:

Teorema 7.1 (Teorema de Bell) Ninguna teoría física de variables locales ocultas puede reproducir todas las predicciones de la mecánica cuántica.

La expresión variables locales ocultas hace referencia a una de las propiedades fundamentales del modelo cuántico que estamos estudiando: no es posible observar o medir el estado interno de un sistema cuántico (de ahí el nombre de variable oculta). Entonces, ¿cómo comprobar experimentalmente esta afirmación sin poder determinar el valor oculto de estas variables, es decir, sin poder mirar lo que hay dentro de la caja antes de abrirla?

7.2 Desigualdad CHSH

Existen varias versiones de las desigualdades que Bell necesarias para probar el teorema. La que vamos a estudiar aquí fue desarrollada por los físicos experimentalistas Clauser, Horne, Shimony y Holt (Clauser et al. 1969), para simplificar su comprobación experimental. Nos referiremos a este resultado como desigualdad CHSH por las iniciales de sus autores originales. Tal y como se indicado anteriormente, la desigualdad CHSH se basa en las premisas de localidad y de realidad.

Teorema 7.2 (Desigualdad CHSH) Consideramos cuatro variables aleatorias binarias $A,B,X,Y$, que pueden tomar valores en $\{-1,+1\}$, y que presentan una distribución conjunta arbitraria. Definimos una nueva variable aleatoria $$\begin{align*} Z &\triangleq A B + X B + X Y - A Y \end{align*}$$ Entonces, si las variables $A,B,X,Y$ son locales (no interaccionan entre ellas) y reales (toman un valor determinista durante el experimento), se debe cumplir que $$\begin{align*} -2 \,\leq\, E[Z] \,\leq\, 2. \end{align*}$$

Demostración. En primer lugar, agrupamos términos para ver que $$\begin{align*} Z &= A B + X B + X Y - A Y\\ &= (A+X) B - (A-X) Y \end{align*}$$ Por el principio de realidad, durante el experimento las variables toman un valor definido $A=a$, $B=b$, $X=x$, $Y=y$, donde $a,b,x,y \in \{-1,+1\}$. Así, independientemente del valor concreto de estas variables, se tiene que:

• Si $a$ y $x$ presentan el mismo signo $\; \Rightarrow\ a + x = \pm 2$, y $a - x = 0$.
• Si $a$ y $x$ presentan diferente signo $\; \Rightarrow\ a + x = 0$, y $a - x = \pm 2$.

Por tanto, dado que $b,y\in \{-1,+1\}$, para cualquier combinación de valores de $a$, $b$, $x$ e $y$, obtenemos $$\begin{align*} z \,=\, (a+x)b - (a-x)y \,=\, \pm 2, \end{align*}$$ Es decir, una realización de la variable aleatoria $Z$ solo puede tomar los valores $2$ y $-2$. Por tanto, $$\begin{align*} \text{E}[Z] &= \text{E}\bigl[ A B + X B + X Y - A Y \bigr]\\ &= \sum_{a,b,x,y} P_{A,B,X,Y}(a,b,x,y) (ab+xb+xy-ay)\\ &\leq 2 \sum_{a,b,x,y} P_{A,B,X,Y}(a,b,x,y)\\ &= 2 \end{align*}$$ donde en el tercer paso hemos utilizado que $z = ab+xb+xy-ay \leq 2$, y en el último, hemos utilizado que, para cualquier distribución de probabilidad conjunta $P_{A,B,X,Y}$, se tiene que $\sum_{a,b,x,y} P_{A,B,X,Y}(a,b,x,y)=1$.

Por tanto, tenemos que $\text{E}[Z] \leq 2$. De forma análoga, utilizando que $z = ab+xb+xy-ay \geq -2$, podemos demostrar que $\text{E}[Z]$ está acotado inferiormente por $-2$. Así, el teorema queda demostrado.

Ejercicio 7.1 Considere un experimento con variables aleatorias clásicas $A$, $B$, $X$, $Y$, tales que: $$\begin{align*} A &= B = \begin{cases} +1 & \text{ con probabilidad $1/2$,}\\ -1 & \text{ con probabilidad $1/2$,} \end{cases}\\ X &= Y = \begin{cases} +1 & \text{ con probabilidad $1/4$,}\\ -1 & \text{ con probabilidad $3/4$,} \end{cases} \end{align*}$$ donde $A$ y $B$ son independientes de $X$ e $Y$.

1. Determine la distribución conjunta $P_{A,B,X,Y}$
2. Para $Z = A B + X B + X Y - A Y$ obtenga $\text{E}[Z]$. ¿Cumple la desigualdad CHSH?

 Jupyter notebooks: Octave, Python

El ejercicio anterior muestra como, para una serie de variables aleatorias clásicas, la métrica $\text{E}[Z]$ cumple la desigualdad CHSH. Sin embargo, veremos que en ciertos sistemas de naturaleza cuántica se pueden asignar las variables aleatorias $A,B,X,Y$ a observaciones. Una estimación de $\text{E}[Z]$ a partir de estas observaciones nos va a permitir concluir que, en ciertos casos, no se cumple esta desigualdad.

7.3 Verificación experimental

La verificación experimental de un proceso cuántico que incumple esta desigualdad se realizó por primera vez en 1972 por Freedman and Clauser, y desde entonces se ha repetido en múltiples laboratorios de todo el mundo eliminando posibles lagunas experimentales.

Un diagrama de bloques de este experimento aparece representado a continuación:

En este sistema se consideran las bases de medida definidas por las matrices: $$\begin{align*} \Pi_0 = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\qquad \Pi_1 = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],\qquad \Pi_{+} = \tfrac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix} +1 & +1\\ +1 & +1 \end{smallmatrix}\right],\qquad \Pi_{-} = \tfrac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix} +1 & -1\\ -1 & +1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

Así, tenemos una fuente de fotones entrelazados cuyas partes se distribuyen a los laboratorios de Alice y de Bob. Alice recibe el estado cuántico $\rho^A$, que se corresponde con una parte de un estado entrelazado $\delta^{AB}$. Entonces, Alice procede a medir su parte del estado escogiendo al azar una base de medida: $$\begin{align*} \text{POVM}_A &= \bigl\{\Pi_0, \Pi_1\bigr\}, & \text{(Alice mide en la base horizontal/vertical)}\\ \text{POVM}_X &= \bigl\{\Pi_+, \Pi_-\bigr\}. & \text{(Alice mide en la base diagonal/diagonal cruzada)} \end{align*}$$ Estas observaciones se corresponden con las variables aleatorias $A$, y $X$, respectivamente, y toman los valores $\{-1,+1\}$ dependiendo del resultado observado.

De forma análoga, Bob aplica una medida en su parte $\sigma^B$ con respecto a una base escogida al azar: $$\begin{align*} \text{POVM}_B &= \bigl\{\Pi_0, \Pi_1\bigr\}, & \text{(Bob mide en la base horizontal/vertical)}\\ \text{POVM}_Y &= \bigl\{\Pi_+, \Pi_-\bigr\}. & \text{(Bob mide en la base diagonal/diagonal cruzada)} \end{align*}$$ Estas observaciones se corresponden con las variables aleatorias $B$, e $Y$, respectivamente.

Aunque no es posible aplicar una medida simultánea a las variables aleatorias $A$ y $X$ o a las variables $B$ e $Y$ (por tratarse de medidas sobre el mismo estado cuántico binario), sí es posible hacer las medidas simultáneas sobre los pares de variables aleatorias $(A,B)$, $(X,B)$, $(X,Y)$ y $(A,Y)$.

Por tanto, repitiendo estas medidas un número de veces suficientemente alto, se puede estimar el valor medio de los términos $E[AB]$, $E[XB]$, $E[XY]$, y $E[AY]$, necesarios para calcular $$\begin{align*} E[Z] \,=\, E[AB] + E[XB] + E[XY] -E[AY]. \end{align*}$$ Así, la esperanza $E[Z]$ se puede estimar con una precisión arbitraria. En el siguiente ejercicio veremos que para ciertos estados entrelazados $\delta^{AB}$, se obtiene $E[Z] > 2$ y, por tanto, no se cumple la desigualdad CHSH.

Ejercicio 7.2 Utilizando un entorno de programación matemática, simule el experimento CHSH:

1. Estado entrelazado. Construimos el estado conjunto $\{\rho,\sigma\}$ generado por la fuente de fotones, definido por la matriz de densidad de probabilidad $$\begin{align*} \delta_{\phi} = (\boldsymbol{I}_2 \otimes \boldsymbol{U}_{\phi}) \,\delta_0\, (\boldsymbol{I}_2 \otimes \boldsymbol{U}_{\phi})^H, \end{align*}$$ donde $\phi\in[0,\pi]$ es un parámetro ajustable, $\boldsymbol{I}_2$ denota la matriz identidad, $\boldsymbol{U}_{\phi}$ está dada por $$\begin{align*} \boldsymbol{U}_{\phi} = \left[\begin{smallmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi)\\ -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{smallmatrix}\right], \end{align*}$$ y $\delta_0$ se corresponde con el estado EPR de máximo entrelazamiento, $$\begin{align*} \delta_0 &= \frac{1}{2} \bigl(\ket{00} + \ket{11} \bigr)\bigl(\bra{00} + \bra{11}\bigr) = \frac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. Preparación de las matrices de medida. Consideremos los POVM $\bigl\{\Pi_0, \Pi_1\bigr\}$ y $\bigl\{\Pi_+, \Pi_-\bigr\}$, con $$\begin{align*} \Pi_0 = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\qquad \Pi_1 = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],\qquad \Pi_{+} = \tfrac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix} +1 & +1\\ +1 & +1 \end{smallmatrix}\right],\qquad \Pi_{-} = \tfrac{1}{2}\left[\begin{smallmatrix} +1 & -1\\ -1 & +1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$ Estas medidas se corresponden con las bases horizontal/vertical, y diagonal/diagonal cruzada, respectivamente. Por tanto, las medidas asociadas a las variables aleatorias $A$, $B$, $X$ e $Y$ del experimento estarían dadas por: $$\begin{align*} &\text{POVM}_A = \bigl\{\Pi_0 \otimes \boldsymbol{I}_2,\; \Pi_1 \otimes \boldsymbol{I}_2\bigr\}, \quad\;\;\text{(Alice mide horizontal/vertical)}\\ &\text{POVM}_B = \bigl\{\boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_0,\; \boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_1\bigr\}, \quad\;\;\text{(Bob mide horizontal/vertical)}\\ &\text{POVM}_X = \bigl\{\Pi_{+} \otimes \boldsymbol{I}_2,\; \Pi_{-} \otimes \boldsymbol{I}_2\bigr\},\quad\,\text{(Alice mide diagonal/diagonal cruzada)}\\ &\text{POVM}_Y = \bigl\{\boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_{+},\; \boldsymbol{I}_2 \otimes \Pi_{-}\bigr\}.\quad\;\,\text{(Bob mide diagonal/diagonal cruzada)} \end{align*}$$

3. Medidas de las variables $(A,B)$, $(A,Y)$, $(X,B)$ y $(X,Y)$: Determine las probabilidades de obtener todas las posibles combinaciones $(+1,+1)$, $(+1,-1)$, $(-1,+1)$, $(-1,-1)$, en cada una de estas medidas sobre el estado $\delta_{\phi}$. Tenga en cuenta que tras aplicar una medida Alice, el estado debe colapsar antes de que Bob aplique la medida en su parte del estado. Utilice estas probabilidades para calcular las esperanzas: $$\begin{align*} \text{E}\bigl[ AB \bigr] &= 1 \cdot P_{AB}(1,1) - 1 \cdot P_{AB}(1,-1) - 1 \cdot P_{AB}(-1,1) + 1 \cdot P_{AB}(-1,-1),\\ \text{E}\bigl[ AY \bigr] &= 1 \cdot P_{AY}(1,1) - 1 \cdot P_{AY}(1,-1) - 1 \cdot P_{AY}(-1,1) + 1 \cdot P_{AY}(-1,-1),\\ \text{E}\bigl[ XB \bigr] &= 1 \cdot P_{XB}(1,1) - 1 \cdot P_{XB}(1,-1) - 1 \cdot P_{XB}(-1,1) + 1 \cdot P_{XB}(-1,-1),\\ \text{E}\bigl[ XY \bigr] &= 1 \cdot P_{XY}(1,1) - 1 \cdot P_{XY}(1,-1) - 1 \cdot P_{XY}(-1,1) + 1 \cdot P_{XY}(-1,-1). \end{align*}$$

4. Comprobación de la desigualdad de CHSH. Considere la variable aleatoria $Z$ definida como $Z = A B + X B + X Y - A Y$, con valor medio $$\begin{align*} \text{E}[Z] = \text{E}\bigl[ AB \bigr] + \text{E}\bigl[ XB\bigr] + \text{E}\bigl[ XY \bigr] - \text{E}\bigl[ AY \bigr]. \end{align*}$$ Para comprobar la desigualdad de CHSH, muestre en una gráfica la función $f(\phi) = \text{E}[Z]$ para una rejilla de valores $\phi\in[0,\pi]$, junto con los umbrales de la desigualdad $-2 \leq f(\phi) \leq 2$.

   Determine el valor o valores de $\phi$ dónde se inclumple esta desigualdad.

   ¿Cuál es el valor máximo de $f(\phi)$? ¿Para qué ángulo $\phi$ se alcanza?

 Jupyter notebooks: Octave, Python

Concluimos que la física que gobierna nuestro mundo debe violar alguna de las dos premisas utilizadas en el desarrollo de de la desigualdad CHSH: la localidad, la realidad o ambas. Para evitar entrar en conflicto con la teoría de la relatividad, se suele asumir que las medidas en laboratorios diferentes no interactuan entre ellas (es decir, se cumpliría la premisa de localidad). Si este fuese el caso, este experimento la premisa erronea sería la que asume una realidad definida subyacente. Es decir, el mundo cuántico (nuestro mundo) no estaría en un estado definido y la naturaleza “sí jugaría a los dados”.

Referencias

Bell, J. S. 1964. “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox.” Physics Physique Fizika 1 (November): 195–200. https://doi.org/10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.

Clauser, John F., Michael A. Horne, Abner Shimony, and Richard A. Holt. 1969. “Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories.” Phys. Rev. Lett. 23 (October): 880–84. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.23.880.

Einstein, A., B. Podolsky, and N. Rosen. 1935. “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?” Phys. Rev. 47 (May): 777–80. https://doi.org/10.1103/PhysRev.47.777.