1 Origen de la mecánica cuántica

Un modelo de un sistema físico consiste en una serie de postulados matemáticos que permiten explicar y hacer predicciones sobre su comportamiento. En general, un modelo de un sistema no tiene por qué implicar una realidad subyacente, que muchas veces es desconocida, ni ser preciso para todos los posibles parámetros de ese sistema. Un ejemplo sería la ley gravitacional de Newton, que ha permitido hacer predicciones sobre las órbitas de los cuerpos celestes durante décadas y que aún se sigue utilizando en la actualidad. Sin embargo, este modelo no explica qué produce la fuerza gravitatoria (realidad subyacente) y la validez del modelo es limitada. De hecho, para velocidades cercanas a la velocidad de la luz sus predicciones dejan de ser precisas y es necesario el uso de otros modelos más complejos, como puede ser la teoría de la relatividad general de Einstein. Un aforismo popular en el ámbito de estadística¹, aunque aplicable en el ámbito de la ingeniería, indica que:

Todos los modelos son incorrectos, aunque algunos son útiles.

Así, en este curso no vamos a profundizar en la realidad física del mundo cuántico, que muchas veces entra en un ámbito filosófico, sino que vamos a considerar una serie de postulados matemáticos que permiten modelar de forma precisa las observaciones experimentales de estos sistemas.

Este modelo cuántico ha permitido además el desarrollo de una serie de tecnologías llamadas a revolucionar varios ámbitos como pueden ser la criptografía, las comunicaciones o la computación cuántica, avances que también veremos durante el curso.

1.1 Radiación de un cuerpo negro

En torno al año 1900, el Santo Grial de los investigadores en física teórica era encontrar un modelo preciso de la radiación emitida por un cuerpo negro. Se denomina cuerpo negro a un objeto que no refleja ningún tipo de radiación externa, y que por tanto su emisión en el espectro radioeléctrico se debe unicamente a su temperatura interior. Por observaciones experimentales se conocía que el patrón de emisión de un cuerpo negro dependía únicamente de su temperatura y de las longitudes de onda (o frecuencias) consideradas.

En esa época existían varías propuestas para modelar esta radiación. Una de ellas, la ley de de Rayleigh-Jeans, se ajustaba a las observaciones para longitudes de onda altas (equivalentemente, frecuencias bajas). Sin embargo, se sabía que esta ley no podía ser correcta, ya que predecía un aumento de la radiación emitida con la frecuencia. Este efecto se conocía como catástrofe ultravioleta, ya que implicaba una emisión de energía infinita para cualquier cuerpo con una temperatura por encima del cero absoluto. Esto desembocaría en un universo achicharrado por la radiación la materia que lo compone.

Además, la mejora en la tecnología disponible ofrecía cada vez medidas más precisas de la radiación de un cuerpo negro a frecuencias más altas. Estas observaciones mostraban un descenso en la energía emitida con la frecuencia a partir de un cierto punto, lo que contradecía las predicciones de la ley de Rayleigh-Jeans. A partir de estos datos experimentales y guiado por una intuición adquirida tras muchos años de trabajo, el físico alemán Max Planck desarrolló un modelo matemático que se ajustaba a los datos disponibles² y que fue validado por múltiples observaciones posteriores (ver Figura 1.1). Curiosamente, este modelo matemático se basaba en discretizar las emisiones del cuerpo negro, de forma que cada átomo del mismo podía emitir únicamente paquetes de energía de un determinado tamaño y no con un valor arbitrario. Cuestionado sobre este punto, Planck indicó que era una particularidad del modelo y que no tenía relación con la realidad subyacente, afirmación que defendería hasta muchos años después.

Figura 1.1: Radiación de un cuerpo negro. Comparación entre el modelo de Rayleigh-Jeans y la ley de Planck.

1.2 Efecto fotoeléctrico

Al mismo tiempo que se producían estos avances, un estudiante desconocido los seguía ávidamente y se planteaba su significado. Se trataba de Albert Einstein, que en 1905 publicaría cuatro artículos científicos que terminarían revolucionando varios campos de la física (este año se conoce como el de Einstein). Einstein consideraba uno de estos trabajos como especialmente relevante. En concreto, Einstein había tomado el modelo cuántico de Planck y lo llevaba un paso más allá, planteándose qué ocurriría si la discretización de la energía no fuera sólo un artificio matemático del modelo de radiación sino algo que también aplicaba a la propia naturaleza de la radiación electromagnética. Así, en el artículo “Sobre un punto de vista heurístico con respecto a la producción y transformación de la luz” Einstein planteó un modelo cuántico para la naturaleza de la luz³.

Un estracto de este trabajo indica lo siguiente:

La energía de un haz de luz que se propaga desde una fuente puntual no se distribuye de forma continua en el espacio, sino que consiste en un número finito de cuantos de energía localizados en los puntos del espacio, que se mueven sin dividirse y que sólo se pueden producir y absorber como unidades completas.

Así, Einstein fue el primer autor en referirse a los fotones como cuantos de energía, y en utilizar este modelo para describir ciertas propiedades de la luz que hasta entonces no tenían ninguna explicación formal. En concreto, cuando la luz incide en una superficie metálica, se pueden producir electrones libres. Esto se conoce como efecto fotoeléctrico y es la tecnología utilizada en los paneles fotoleléctricos para producir electricidad. Algunas de las propiedades del efecto fotoeléctrico eran un misterio hasta ese momento:

La energía de los electrones liberados es independiente de la intensidad de la luz incidente.
Los electrones pueden aparecer tan pronto incide la luz, y no solo al acumularse una cierta energía.
No se producen electrones para una frecuencia de onda de la luz por debajo de un umbral, incluso si se aumenta la intensidad de la misma arbitrariamente.

Estas propiedades, inexplicables si se consideraba la luz como una onda electromagnética, tenían una explicación sencilla si se considera la luz formada por cuantos de energía o fotones. En el modelo cuántico de Einstein, la intensidad de la luz hace referencia al número de fotones que inciden en la superficie, mientras que la frecuencia (o longitud de onda) está relacionada con la cantidad de energía que transporta cada fotón. Así, teniendo en cuenta que cada electrón generado en el efecto fotoeléctrico es el resultado del impacto de un único fotón se explica que su energía sea independiente de la intensidad (aunque existe la posibilidad de que dos o más fotones impacten simultaneamente con un electrón, la probabilidad de este evento es extremadamente baja). Los electrones aparecen tan pronto incide la luz porque ésta transporta paquetes de energía y no es necesario que se acumule cierta energía como sería el caso si fuese una onda continua. Por último, para una fuente luminosa con una frecuencia por debajo de cierto umbral, los fotones no transportan suficiente energía como para excitar un electrón. Por tanto, en este caso no se produce el efecto fotoeléctrico, independientemente de la intensidad de la luz incidente.

Gracias a esta contribución y a muchos artículos científicos posteriores, Albert Einstein fue uno de los pioneros que más impulsó el desarrollo de la mecánica cuántica, tal y como la conocemos hoy en día. A pesar de esto, se identifica a menudo a Einstein como un detractor de la mecánica cuántica, ya que nunca acabo de aceptar la naturaleza difusa que impedía modelar un sistema cuántico de forma determinista. De ahí su famosa frase (en referencia a las leyes de la naturaleza):

Dios no juega a los dados.

Veremos más sobre este punto durante el curso. Para ello, presentaremos un modelo físico simplificado que permite predecir los resultados de experimentos con propiedades cuánticas. En este modelo, tal y como propuso Einstein, consideraremos la luz formada por cuantos de energía. Aunque es útil tener el ejemplo de un fotón y sus propiedades en mente, este modelo permitirá caracterizar otros sistemas con propiedades cuánticas, como pueden ser resonadores superconductores, iones en suspensión o quantum dots.