4 Medida de un estado cuántico

Hasta ahora, hemos definido un modelo matemático que permite describir un estado cuántico. Podemos pensar en este estado como en una caja cerrada, de la que no tenemos información hasta que interaccionamos con ella. Esto se realiza a través de un proceso de medida, que en esta analogía se correspondería a abrir la caja que contiene el estado cuántico.

4.1 Operador de medida POVM

Una medida de un estado cuántico binario puede distinguir entre dos posibles resultados, también denominados observables. Para ello, se definen las matrices de medida $\Pi_a = \ket{a} \bra{a}$ y $\Pi_b = \ket{b} \bra{b}$ que determinan los observables ‘$a$’ y ‘$b$’ de este proceso de medida. Estas matrices deben cumplir las siguientes propiedades:

• Deben ser semidefinidas positivas, $\Pi_a \succeq 0$, $\Pi_b \succeq 0$.
• Deben sumar la identidad, $\Pi_a + \Pi_b = \boldsymbol{I}$.

El conjunto $\bigl\{\Pi_a, \Pi_b\bigr\}$ se denomina habitualmente POVM (por la siglas de su definición en inglés, positive operator-valued measure).Cuando se aplica un proceso de medida a un estado cuántico definido por una matriz de densidad de probabilidad $\rho$ se obtiene uno (y solo uno) de los observables ‘$a$’ o ‘$b$’ de forma aleatoria con una cierta probabilidad:

• La probabilidad de observar ‘$a$’ es $\Pr\{a\}=\text{Tr}\left[ \Pi_{a} \rho \right] = \bra{a} \rho \ket{a}$.
• La probabilidad de observar ‘$b$’ es $\Pr\{b\}=\text{Tr}\left[ \Pi_{b} \rho \right] = \bra{b} \rho \ket{b}$.

Además, como hemos visto en la Sección 2, al aplicar una medida a un sistema cuántico se modifica el estado del mismo. El nuevo estado tras la medida pasa a ser $$\begin{align*} \rho_a' &= \frac{\Pi_{a} \rho \Pi_{a}^H }{\text{Tr}\left[ \Pi_{a} \rho \right]} & \text{(si el resultado observado ha sido '$a$'),}\\ \rho_b' &= \frac{\Pi_{b} \rho \Pi_{b}^H }{\text{Tr}\left[ \Pi_{b} \rho \right]} & \text{(si el resultado observado ha sido '$b$').} \end{align*}$$ Por otra parte, si no conocemos el resultado de la observación, se produce una mezcla probabilística de los estados anteriores $$\begin{align*} \rho'&= \Pr\{a\} \rho_a' + \Pr\{b\} \rho_b' = \Pi_{a} \rho \Pi_{a}^H + \Pi_{b} \rho \Pi_{b}^H. \end{align*}$$ Es importante resaltar que el proceso de medida modifica el estado, incluso si el resultado de la medida es desconocido. Esto es lo que habitualmente se conoce como colapso de la función de onda, o colapso del estado cuántico tras su observación o medida.

4.2 Realización de un bit aleatorio

Como primer ejemplo, consideramos la variable aleatoria binaria $X\in\{0,1\}$ con una distribución Bernoulli con parámetro $p$. En la Sección 3.3 hemos visto que la matriz de densidad de probabilidad corrrespondiente está dada por: $$\begin{align*} \rho_X = \biggl[\begin{matrix}1-p & 0\\ 0 & p\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Consideramos ahora el proceso de medida de este estado. En el caso clásico, una medida se corresponde con una realización del experimento aleatorio (por ejemplo, lanzar una moneda y observar el resultado).

Para determinar los posibles resultados definimos el POVM $\bigl\{\Pi_0,\Pi_1\bigr\}$ correspondiente a la base canónica, donde $$\begin{align*} \Pi_0= \ket{0}\bra{0} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr],\qquad \Pi_1= \ket{1}\bra{1} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Se puede comprobar que se cumplen las propiedades $\Pi_{\ell}\succeq 0$, $\ell=0,1$, y $\sum_{\ell=0,1} \Pi_{\ell} = \boldsymbol{I}$.

Una realización de una variable aleatoria binaria, al igual que el resultado de un proceso de medida de un estado cuántico binario, solo ofrece dos posibles valores: el resultado es o bien ‘0’ o bien ‘1’. De acuerdo con el modelo descrito, para el estado definido por $\rho_X$, la probabilidad de observar un ‘1’ en este experimento es $$\Pr\{X=1\} = \text{Tr}[\Pi_1 \rho_X] = p,$$ mientras que la probabilidad de observar un ‘0’ es $$\Pr\{X=0\} = \text{Tr}[\Pi_0 \rho_X] = 1-p,$$ que coinciden con las de una distribución Bernoulli con parámetro $p$, como era de esperar.

Se debe tener en cuenta que el proceso de medida afecta al estado, incluso para variables aleatorias clásicas. Para ilustrar este punto, consideramos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.1 En un sobre se introduce un ‘0’ o un ‘1’ de forma aleatoria con una cierta probabilidad, para cerrarlo a continuación. Como inicialmente no conocemos su contenido, lo podemos modelar como una variable aleatoria $X$ de acuerdo a una Bernoulli con parametro $p$. Ahora, imaginemos que abrimos el sobre, observamos su contenido y lo volvemos a cerrar. La primera vez que hacemos este proceso podemos observar un ‘0’ o un ‘1’ de forma aleatoria. Sin embargo, una vez realizada esta medida el contenido del sobre ya es conocido, y aunque lo cerremos y lo volvamos a abrir varias veces, su contenido no variará. De esta forma, después de la primera observación $X$ pasa a ser un bit determinista en un estado definido.

Nuestro modelo matemático también permite describir esta propiedad del proceso de medida. Para la medida del estado $\rho_X$ con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_0,\Pi_1\bigr\}$, la nueva matriz de densidad de probabilidad del estado tras el proceso de medida queda: $$\begin{align*} \rho'_{X=0} &= \frac{\Pi_{0} \rho_X \Pi_{0}^H}{\text{Tr}[\Pi_{0} \rho_X]} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr] &\text{(si se ha observado $X=0$),}\\ \rho'_{X=1} &= \frac{\Pi_{1} \rho_X \Pi_{1}^H}{\text{Tr}[\Pi_{1} \rho_X]} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr] &\text{(si se ha observado $X=1$).} \end{align*}$$ Es decir, la variable aleatoria pasa a tomar un valor determinista que coincide con el estado observado.

Por otra parte, si realizamos la medida (abrimos el sobre) pero sin observar su resultado, el valor de $X$ seguiría siendo desconocido y por tanto aleatorio. La nueva matriz de densidad de probabilidad tras la medida pasaría a ser en este caso: $$\begin{align*} \rho_X' &= \Pi_0\rho_X\Pi_0^H + \Pi_1\rho_X\Pi_1^H= \biggl[\begin{matrix}1-p & 0\\ 0 & p\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Concluimos que el proceso de medida (sin observar el contenido del sobre) no ha afectado al estado, ya que $\rho_X'=\rho_X$. A pesar de que esto último puede parecer intuitivo, veremos que en el caso de aplicar una medida a un estado cuántico, ésta puede afectar al estado incluso si no observamos el resultado de la misma.

4.3 Midiendo la polarización de un fotón

Vamos a estudiar el proceso de medida de la polarización de un fotón planteado en la Sección 2:

Como hemos visto, un fotón polarizado linealmente con ángulo $\theta$ se puede modelar como $\ket{\theta} = \bigl[\begin{smallmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{smallmatrix}\bigr]$, con una matriz de densidad de probabilidad asociada $$\begin{align*} \rho = \ket{\theta} \bra{\theta} = \biggl[\begin{matrix} \cos(\theta)^2 & \cos(\theta)\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\sin(\theta) & \sin(\theta)^2 \end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$

Planteamos un proceso de detección que discrimina entre las dos polarizaciones ortogonales $\leftrightarrow$ y $\updownarrow$. La polarización $\leftrightarrow$ está asociada a un ángulo de medida $0$, mientras que la polarización $\updownarrow$ está asociada a un ángulo de medida $\pi/2$. Por tanto, definimos el POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$ donde $$\begin{align*} \Pi_{\leftrightarrow} = \ket{0}\bra{0} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr],\qquad \Pi_{\updownarrow} = \ket{\pi/2}\bra{\pi/2} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$

Al aplicar el POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$ al fotón $\rho$, obtenemos una observación binaria ya que el resultado de la medida puede ser bien la polarización ‘$\leftrightarrow$’ o la polarización ‘$\updownarrow$’. De acuerdo a nuestro modelo matemático, las probabilidades de observar ‘$\leftrightarrow$’ o ‘$\updownarrow$’ están dadas respectivamente por $$\begin{align*} \Pr\{\leftrightarrow\} &= \text{Tr}\bigl[\Pi_{\leftrightarrow} \rho\bigr] = \cos(\theta)^2,\\ \Pr\{\updownarrow\} &= \text{Tr}\bigl[\Pi_{\updownarrow} \rho\bigr] = \sin(\theta)^2. \end{align*}$$

Ejercicio 4.1 Considere un proceso de medida de la polarización de un fotón $$\begin{align*} \rho = \ket{\pi/4}\bra{\pi/4}, \text{ donde } \ket{\theta} = \biggl[\begin{matrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ con respecto al POVM $\bigl\{\Pi_{\leftrightarrow}, \Pi_{\updownarrow}\bigr\}$.

1. Obtenga las probabilidades de observar $\leftrightarrow$ y $\updownarrow$ en este proceso de medida.
2. Obtenga el nuevo estado $\rho'$ si se realiza la medida $\{\leftrightarrow, \updownarrow\}$, pero no se observa su resultado.
3. Compare el nuevo estado $\rho'$ con el correspondiente estado original $\rho$ y explique el resultado.

A partir del ejercicio anterior comprobamos que el proceso de medida puede modificar el estado del fotón incluso sin observar su resultado. Esto es lo que se conoce como colapso de la función de onda, y es una de las características diferenciales de un sistema cuántico.