9 Protocolos de comunicaciones

Ciertas propiedades de la mecánica cuántica, tales como el enetrelazamiento y el colapso de la función de onda, permiten realizar operaciones que no tienen una analogía clara en sistemas de comunicaciones clásicos. En esta sección veremos algunos ejemplos, incluyendo un protocolo que permite el “teletransporte” de información cuántica.

9.1 Recursos unitarios no locales

Para formalizar los protocolos de comunicaciones que vamos a presentar a continuación, definimos una serie de recursos que puede presentar un sistema cuántico de comunicaciones.

• Canal clásico ideal. Este elemento es un canal que permite transmitir un bit de información sin errores entre dos puntos separados en el espacio. Lo representamos con el símbolo $[b\rightarrow b]$.
• Canal cuántico ideal. Este elemento es un canal que permite transmitir un cúbit de información sin errores entre dos puntos separados en el espacio. Lo representamos con el símbolo $[q\rightarrow q]$.
• Cúbit entrelazado compartido. Este elemento se corresponde a dos cúbits situados en dos puntos separados que presentan un entrelazamiento máximo. Lo representamos con el símbolo $[qq]$.

Estos elementos se denominan recursos unitarios no locales dado que se corresponden al elemento más pequeño posible dentro de su clase, y que hacen referencia a recursos que conectan dos puntos separados en el espacio. En esta sección ignoraremos la complejidad de realizar ciertas tareas y procesado local de la información, como puede ser realizar una transformación unitaria, aplicar un proceso de medida, o generar un estado máximamente entrelazado de forma local.

Es posible que un cierto recurso unitario no local se pueda utilizar para generar otro. Por ejemplo, en la Sección 8.2 hemos visto que un canal cuántico ideal se puede utilizar para transmitir un bit de información sin errores. Para indicar esto de una forma compacta, escribimos $$\begin{align*} [q\rightarrow q] \ \geq \ [b\rightarrow b]. \end{align*}$$ Esta notación indica que los recursos a la izquierda del símbolo $\geq$ se pueden emplear para emular los recursos a la derecha de $\geq$. Por tanto, podemos concluir que el recurso $[q\rightarrow q]$ es más fuerte que $[b\rightarrow b]$.

Es posible que dos recursos no se dominen entre ellos. Por ejemplo, en la Sección 8.3 hemos visto que no es posible transmitir información utilizando entrelazamiento. Por tanto, $[qq] \ngeq [b\rightarrow b]$. Sin embargo, tampoco es posible crear entrelazamiento utilizando un canal clásico de información (al ser el entrelazamiento un efecto puramente cuántico). Por tanto $[b\rightarrow b] \ngeq [qq]$ y ninguno de los dos recursos es más fuerte que el otro.

A continuación veremos varios protocolos de comunicaciones que permiten entender mejor la jerarquía existente entre los distintos recursos unitarios no locales.

9.2 Distribución de entrelazamiento

Es posible utilizar un canal cuántico $[q\rightarrow q]$ para generar un par de cúbits entrelazados $[qq]$. El esquema para conseguir esto aparece representado esquemáticamente en la siguiente figura:

Protocolo:

1. Alice prepara un estado máximamente entrelazado con cúbits $\rho^A$ y $\sigma^A$: $$\begin{align*} \delta^{AA} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. Alice envía la parte $\sigma^A$ a Bob a través de un canal cuántico ideal: $$\begin{align*} \sigma^A \ \rightarrow\ \sigma^B \end{align*}$$

3. Bob recibe $\sigma^B = \sigma^A$, de forma que Alice y Bob comparten el ebit $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

Por tanto, es posible utilizar un canal cuántico ideal para generar un ebit compartido entre Alice y Bob (pero el proceso inverso no es posible, ¿por qué?). Concluimos que el recurso $[q \rightarrow q]$ es más fuerte que $[q q]$, $$\begin{align*} [q \rightarrow q] \;\geq\; [q q]. \end{align*}$$ Es importante resaltar que el análisis descrito se centra en los recursos unitarios no locales y que asume que el procesado local es sencillo (por ejemplo, generar el estado entrelazado inicial en Alice).

9.3 Codificación superdensa

En general, no se puede utilizar un ebit compartido entre Alice y Bob para transmitir información de forma independiente. Sin embargo, sí que se puede utilizar este ebit para “ayudar” en el proceso de comunicación. Lo veremos con un esquema de transmisión superdensa, que utiliza un ebit $[qq]$ y un único uso de un canal cuántico $[q \rightarrow q]$ para transmitir $2$ bits de información clásica. Para ello este esquema hace uso de las puertas de Pauli, que son las transformaciones unitarias dadas por $$\begin{align*} I = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad X = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix},\quad Y = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}0 &-j\\ j & 0\end{bmatrix},\quad Z = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 &-1\end{bmatrix}. \end{align*}$$ El esquema correspondiente aparece representado en la siguiente figura:

Protocolo: Alice desea transmitir un mensaje $m\in\{0,1,2,3\}$ a Bob.

1. Alice y Bob comparten un ebit $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. En función de $m$, Alice aplica una puerta de Pauli $\{I,X,Y,Z\}$ a su parte del ebit compartido con Bob. Así si definimos $U_0 = I$, $U_1 = X$, $U_2 = Y$ y $U_3 = Z$, el estado conjunto resultante está dado por $$\begin{align*} \delta_m^{AB} = \bigl(U_m \otimes I\bigr) \delta^{AB} \bigl(U_m \otimes I\bigr). \end{align*}$$

3. Alice su parte del estado conjunto $ _m^{AB}$ a Bob mediante un único uso del canal cuántico, de forma que ahora Bob dispone del ebit completo $$\begin{align*} \delta_m^{BB} = \bigl(U_m \otimes I\bigr) \delta^{AB} \bigl(U_m \otimes I\bigr). \end{align*}$$

   El ebit $\delta_m^{BB}$ se encuentra en uno de los $4$ posibles estados cuánticos que resultan de tomar $m = 0,1,2,3$. Dado que estas $4$ posibilidades son ortogonales entre sí, Bob puede realizar una medida para determinar el mensaje original $m$ sin errores. En concreto, Bob puede utilizar el POVM $$\begin{align*} \Pi_{0} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],\quad \Pi_{1} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \Pi_{2} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &-1 & 0\\ 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \Pi_{3} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

Ejercicio 9.1 Utilizando Matlab, u otro entorno de programación matemática, obtenga el estado $\delta_m^{BB}$ para $m=0,1,2,3$. Compruebe que estos estados son ortogonales entre sí, es decir, $\text{Tr}\bigl[\delta_i^{BB} \delta_j^{BB}\bigr] = 0$ para $i\neq j$. Obtenga las probabilidades de los posibles resultados al aplicar una medida con el POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\bigr\}$ al estado $\delta_3^{BB}$.

Con el esquema anterior, es posible transmitir un mensaje $m\in\{0,1,2,3\}$, correspondiente a 2 bits de información clásica, utilizando un ebit y un canal cuántico ideal. Por tanto, tenemos la jerarquía $$\begin{align*} [q \rightarrow q] + [qq] \;\geq\; 2[b \rightarrow b]. \end{align*}$$ concluimos que, aunque no es posible utilizar un ebit $[qq]$ para transmitir información clásica de forma aislada, sí que puede asistir a un canal cuántico ideal $[q \rightarrow q]$ duplicando su capacidad. Este esquema de transmisión se denomina habitualmente como codificación superdensa y es el primer sistema de comunicaciones cuántico no trivial que no tiene un equivalente clásico.

9.4 Teletransporte cuántico

El teletransporte cuántico, a pesar de su provocador nombre, es tan solo un protocolo de comunicaciones similar a los vistos anteriormente. En este caso, Alice desea transmitir un estado cuántico $\mu$ a Bob utilizando un ebit compartido. Como hemos visto anteriormente, no es posible utilizar únicamente entrelazamiento para transmitir información. Sin embargo, si podemos transmitir también $2$ bits de información clásica por un canal auxiliar, existe un protocolo que ``teletransporta’’ o transmite el estado $\mu$ desde Alice hasta Bob.

El esquema correspondiente aparece representado en la siguiente figura:

Protocolo: Alice desear transmitir un estado $\mu$ a Bob.

1. Alice y Bob comparten un ebit formado por $\rho^A$ y $\sigma^B$, dado por $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. Alice aplica una medida conjunta a $\mu^A$ y a $\rho^A$. Para poder modelar esta medida, es necesario considerar el estado del sistema completo, dado por $$\begin{align*} \theta^{AAB} = \mu^A\otimes\delta^{AB}. \end{align*}$$ La medida que aplica Alice se corresponde al mismo POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\bigr\}$ visto en el protocolo de codificación superdensa. Por tanto, la probabilidad de medir cada uno de los posibles resultados $m\in\{0,1,2,3\}$ es $p_m = \text{Tr}\bigl[ \bigl( \Pi_{m} \otimes I_2\bigr) \theta^{AAB} \bigr]$. Si el resultado de la operación de medida ha sido $m\in\{0,1,2,3\}$, el estado conjunto pasa a ser $$\begin{align*} \theta^{AAB}_m = \frac{1}{p_m}\bigl( \Pi_{m} \otimes I_2\bigr) \theta^{AAB} \bigl( \Pi_{m} \otimes I_2\bigr). \end{align*}$$

3. Alice envía el resultado de la medida $m\in\{0,1,2,3\}$, que se corresponde a dos bits de información, a Bob utilizando un canal clásico.

4. En función del valor de $m$, Bob aplica una puerta de Pauli $\{I,X,Y,Z\}$ a su parte $\sigma^B$ del estado global $\theta^{AAB}_m$. Se puede comprobar que como resultado de aplicar esta operación, la parte $\sigma^B$ del estado compuesto se transforma en el estado $\mu$ que se desaba transmitir. Para modelar este proceso, marginalizamos el estado compuesto $\theta^{AAB}_m$ por medio de la traza parcial: $$\begin{align*} \sigma_m^B = \text{Tr}_{AA} \bigl[ \theta^{AAB}_m \bigr], \end{align*}$$ y posteriormente, para $U_0 = I$, $U_1 = X$, $U_2 = Y$ y $U_3 = Z$, calcular $$\begin{align*} \mu^B = U_m \sigma_m^B U_m. \end{align*}$$

Tras aplicar este protocolo se obtiene que $\mu^B=\mu$. Este resultado es sorprendente, ya que habíamos visto que no es posible transmitir información cuántica utilizando únicamente entrelazamiento, ni utilizando únicamente un canal de comunicación clásico. Sin embargo, combinando estos recursos de una manera adecuada, un estado cuántico $\mu$ se puede ``teletransportar’’ a un lugar separado en el espacio, lo que es equivalente a la transmisión de un estado cuántico mediante el uso de un canal cuántico ideal.

Por tanto, se tiene que $$\begin{align*} [qq] + 2 [b \rightarrow b] \;\geq\; [q \rightarrow q]. \end{align*}$$ Es interesante resaltar que el proceso descrito destruye el estado original, respetando así el teorema de la no clonación. Además, aunque el colapso es instantaneo cuando Alice aplica la medida en su parte del estado, el ``teletransporte’’ está limitado por la velocidad de la luz al requerir la transmisión de los dos bits de información clásica resultantes de esta medida.