2 La polarización de un fotón

En el mundo macroscópico, estamos habituados a pensar en una medida como un proceso que no afecta al estado del objeto que estamos midiendo. Por ejemplo, consideremos el proceso de determinar la posición de una pelota. Para ello, podemos utilizar la luz que llega a nuestros ojos o hacer una fotografía de la misma y ver dónde está situada. En esta medida estamos utilizando los fotones que se reflejan en la pelota. Como el efecto del impacto de los fotones en la posición de la pelota es despreciable, podemos asumir que la pelota está situada donde parece estar. Sin embargo, en el mundo microscópico el proceso de medida sí afecta al estado del sistema. Este efecto sería similar a intentar determinar la posición de la pelota lanzando otra pelota y viendo en que dirección rebota la misma. Es posible que seamos capaces de detectar la posición de la pelota por este medio, pero con el impacto, también hemos modificado la posición original en el proceso de medida y nunca conoceremos con precisión dónde se encuentra realmente.

Este efecto afecta a muchos sistemas físicos de medida. Como ejemplo, vamos a considerar un haz de luz que atraviesa un filtro polarizador. El filtro polarizador transmite de forma selectiva una determinada dirección de oscilación de una onda electromagnética, bloqueando el resto de planos de polarización. Así, podemos pensar en él, como una rejilla que solo permite pasar a los fotones con una polarización alineada con la rejilla.

2.1 Jugando con la polarización

Consideramos el siguiente montaje experimental, consistente en una lámpara y dos polarizadores superpuestos con planos de polarización rotados 90º entre ellos. El haz de luz se hace pasar por un filtro polarizador $\updownarrow$, que permite el paso de fotones con polarización vertical, seguido de un filtro polarizador $\leftrightarrow$ que solo permite el paso de fotones con polarización horizontal. Como se podría esperar, al ser los dos filtros ortogonales entre sí, si colocamos una pantalla a continuación de los dos polarizadores no llegaría luz a la misma.

Sin embargo, para un montaje similar al anterior, en el que introducimos un polarizador intermedio diagonal, se puede comprobar experimentalmente que ahora parte de la luz sí incide en la pantalla al final del experimento.

Con este sencillo experimento, podemos concluir que los filtros polarizadores utilizados no solo filtran la luz, sino que también modifican su polarización. Si no fuera así, añadir un polarizador adicional intermedio no debería cambiar el resultado observado en la pantalla.

En el modelo propuesto por Einstein, el haz de luz se puede interpretar como un flujo de cuantos de energía o fotones, posiblemente con polarizaciones diferentes cada uno de ellos. La siguiente animación interactiva ilustra el paso de un fotón por un filtro polarizador:

Podemos observar que un fotón con polarización vertical alineada con el filtro siempre puede atravesar el mismo mientras que un fotón con polarización horizontal siempre es bloqueado. Sin embargo, un fotón con polarización diagonal algunas veces será bloqueado y algunas veces atravesará el filtro, aunque en este último caso pasa a tener la polarización del filtro. Esta visualización permite interpretar de forma intuitiva lo que está ocurriendo en el experimento con el que abríamos esta sección.

2.2 Midiendo la polarización

Para ilustrar el tipo de sistemas que analizaremos durante el curso, consideremos una lámpara o dispositivo láser que emite un único fotón. A continuación mostramos un posible montaje experimental para determinar la polarización de este fotón. El sistema consiste en un divisor de haz óptico, que desvía el fotón dependiendo de su polarización, seguido de unos detectores que se activan al recibir un impacto:

De acuerdo a este esquema, si un fotón presentara una polarización vertical $\updownarrow$, atravesaría el divisor de haz óptico sin desviarse y activaría el detector superior. Si el fotón, en cambio, presentara una polarización horizontal $\leftrightarrow$, sería desviado por el divisor de haz óptico y activaría el segundo detector. Así, con este experimento podemos distinguir perfectamente si un fotón tiene una polarización vertical u horizontal.

Sin embargo, si el fotón emitido presenta una polarización diagonal, a la salida del divisor de haz óptico seguiríamos teniendo bien un fotón $\updownarrow$ o un fotón $\leftrightarrow$, aunque esta vez de forma aleatoria. Esto es así porque el divisor, del mismo modo que el filtro polarizador de la sección anterior, no sólo filtra la luz, sino que también la modifica. Con este divisor de haz, por tanto, no podemos distinguir un fotón con polarización diagonal de uno que tenga polarización horizontal o vertical, ya que en cualquiera de los dos casos se activaría uno de los dos detectores.

2.3 Notación Bra-Ket

Para poder modelar matemáticamente los experimentos descritos aquí, utilizaremos el siguiente modelo vectorial para un fotón polarizado linealmente con un ángulo $\theta$:

$$\begin{equation*} \ket{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{bmatrix}. \end{equation*}$$

Vemos que el fotón se caracteriza como un vector de dimensión $2\times 1$ que depende del ángulo de polarización $\theta$. En las secciones siguientes veremos como este modelo nos permitirá caracterizar los resultados de un proceso de medida como el descrito anteriormente. En esta expresión hemos utilizado la notación $\ket{\theta}$ para referirnos a un vector y se denomina notación de Dirac o notación bra-ket, que usaremos durante el curso. En esta notación tenemos que:

• Dado un vector columna $\boldsymbol{v}_a\in\mathbb{C}^{n}$ parametrizado por $a$, se denota $\ket{a} = \boldsymbol{v}_a$.
• Dado un vector columna $\boldsymbol{v}_a\in\mathbb{C}^{n}$ parametrizado por $a$, se denota $\bra{a} = \boldsymbol{v}_a^H$.

Así, $\ket{a}$ se corresponde a un vector columna, mientras que $\bra{a}=\ket{a}^H$ se corresponde a un vector fila. La expresión $\bra{a}$ se denomina de forma coloquial bra, mientras que $\ket{a}$ se denomina ket. El conjunto de ambas $\bra{a}\ket{a} \equiv \braket{a|a}$ se denomina bra-ket (por su similitud con la palabra inglesa bracket).

La notación de Dirac o bra-ket es muy compacta y visual. Para ilustrar este punto, consideremos los vectores $\boldsymbol{v}_a\in\mathbb{C}^{n}$ y $\boldsymbol{v}_b\in\mathbb{C}^{n}$, parametrizados por $a$ y por $b$, respectivamente. Entonces:

• El producto exterior de $\boldsymbol{v}_a$ y $\boldsymbol{v}_b$, dado por $\boldsymbol{v}_a \boldsymbol{v}_b^H \in\mathbb{C}^{n\times n}$ se corresponde a $\ket{a}\bra{b}\in\mathbb{C}^{n\times n}$.
• El producto interior de $\boldsymbol{v}_a$ y $\boldsymbol{v}_b$, dado por $\boldsymbol{v}_a^H \boldsymbol{v}_b \in\mathbb{C}$ se corresponde a $\braket{a|b} \in\mathbb{C}$.
• El sandwich de una matriz $\boldsymbol{M}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ entre los dos vectores queda $\bra{a}\boldsymbol{M}\ket{b}\in\mathbb{C}$.

Así, si las puntas de los ángulos de los bra y kets quedan hacia fuera, el resultado es un escalar. En cambio, si las barras verticales $|$ quedan en el exterior de la expresión, el resultado de la operación es una matriz de dimensión $n\times n$. Esto permite identificar de forma visual la dimensión del resultado de la operación. Por otra parte, dado que el ángulo se corresponde con la “parte escalar” del vector, el producto por una matriz $\boldsymbol{M}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ siempre se debe hacer por el lado de la barra vertical. Por ejemplo, $\boldsymbol{M}\ket{b} \in\mathbb{C}^{n\times 1}$ y $\bra{a} \boldsymbol{M} \in\mathbb{C}^{1 \times n}$ serían expresiones válidas, pero no serían válidas (ya que no encajan las dimensiones) $\boldsymbol{M} \bra{a}$ o tampoco $\ket{b}\boldsymbol{M}$.