9 El recurso del entrelazamiento

En la sección anterior hemos visto cómo construir sistemas de comunicaciones cuánticos similares a los utilizados en las comunicaciones clásicas, y cómo el entrelazamiento no se puede utilizar de forma independiente para transmitir información. Sin embargo, en esta sección veremos cómo el entrelazamiento puede ser un recurso muy útil en sistemas de transmisión de información, permitiendo ciertas operaciones que no tienen una analogía en sistemas de comunicaciones clásicos.

9.1 Recursos unitarios no locales

En primer lugar vamos a presentar una serie de elementos básicos, que, combinados de forma adecuada, permiten la creación de sistemas de transmisión con propiedades inesperadas. Vamos a denominar a estos elementos recursos unitarios no locales dado que se corresponden a los elementos más pequeños (unitarios) dentro de su clase y porque hacen referencia a recursos que relacionan puntos separados en el espacio (no locales). Los recursos unitarios no locales que consideraremos aquí son:

• Canal clásico ideal. Recurso que permite transmitir un bit de información sin errores entre dos puntos separados en el espacio. Lo representamos con el símbolo $[b\rightarrow b]$.
• Canal cuántico ideal. Este elemento permite transmitir un cúbit de información sin errores entre dos puntos separados en el espacio. Lo representamos con el símbolo $[q\rightarrow q]$.
• Cúbit entrelazado compartido. Este recurso engloba dos cúbits máximamente entrelazadossituados en dos puntos separados del espacio. Lo representamos con el símbolo $[qq]$.

En esta sección ignoraremos la complejidad de realizar tareas de procesado local, como puede ser realizar una transformación unitaria, aplicar un proceso de medida, o generar un estado localmente entrelazado.

Es posible que un recurso unitario no local se pueda utilizar para generar otro recurso del mismo tipo:

Ejemplo 9.1 En la Sección 8.2 demostramos que un canal cuántico ideal $[q\rightarrow q]$ se puede utilizar para transmitir un bit de información $[b\rightarrow b]$ sin errores. Para indicar esta propiedad de una forma compacta, podemos escribir $$[q\rightarrow q] \ \geq \ [b\rightarrow b].$$ Esta notación indica que los recursos a la izquierda del símbolo $\geq$ se pueden emplear para emular (son más fuertes que) los recursos a la derecha de $\geq$. Por tanto, podemos concluir que el recurso $[q\rightarrow q]$ es más fuerte que $[b\rightarrow b]$.

Es posible también que, para un par de recursos, ninguno domine al otro:

Ejemplo 9.2 En la Sección 8.3 concluímos que no es posible transmitir información clásica utilizando entrelazamiento. Por tanto, se tiene que $$[qq] \ \ngeq\ [b\rightarrow b].$$ Por otra parte, tampoco es posible crear entrelazamiento utilizando un canal clásico de información (al ser el entrelazamiento un efecto puramente cuántico). Por tanto $$[b\rightarrow b] \ \ngeq\ [qq]$$ y ninguno de estos dos recursos es más fuerte que el otro.

A continuación veremos varios protocolos de comunicaciones que permiten entender mejor la jerarquía existente entre los distintos recursos unitarios no locales.

9.2 Distribución de entrelazamiento

Es posible utilizar un canal cuántico $[q\rightarrow q]$ para generar un par entrelazado $[qq]$. El esquema de este proceso aparece representado esquemáticamente en la siguiente figura:

Protocolo:

1. Alice prepara un estado máximamente entrelazado con cúbits $\rho^A$ y $\sigma^A$: $$\begin{align*} \delta^{AA} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. Alice envía la parte $\sigma^A$ a Bob a través de un canal cuántico ideal: $$\begin{align*} \sigma^A \ \rightarrow\ \sigma^B \end{align*}$$

3. Bob recibe $\sigma^B = \sigma^A$, de forma que Alice y Bob comparten el ebit $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

Por tanto, es posible utilizar un canal cuántico ideal para generar un ebit compartido entre Alice y Bob. Concluimos que el recurso $[q \rightarrow q]$ es más fuerte que $[q q]$, o, en nuestra notación: $$\begin{align*} [q \rightarrow q] \;\geq\; [q q]. \end{align*}$$ Es importante resaltar que el análisis descrito se centra en los recursos unitarios no locales y que asume que el procesado local es sencillo (en este protocolo, generar el estado entrelazado inicial en Alice).

9.3 Codificación superdensa

Hemos visto que no se puede utilizar un ebit compartido entre Alice y Bob para transmitir información (Sección 8.3). Sin embargo, sí que se puede utilizar este ebit para “ayudar” o “asistir” en el proceso de comunicación. Este efecto se manifiesta en el llamado protocolo de codificación superdensa, que utiliza un ebit $[qq]$ y un único uso de un canal cuántico $[q \rightarrow q]$ para transmitir $2$ bits de información clásica (Bennett and Wiesner 1992).

Para ello, este esquema hace uso de las puertas de Pauli que hemos introducido en la Sección 6.3, que son las transformaciones unitarias dadas por $$\begin{align*} I = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad X = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix},\quad Y = \begin{bmatrix}0 &-j\\ j & 0\end{bmatrix},\quad Z = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 &-1\end{bmatrix}. \end{align*}$$ El protocolo de codificación superdensa aparece representado en la siguiente figura:

Supongamos que Alice quiere transmitir dos bits de información clásica a Bob, o de forma equivalente, Alice quiere transmitir un mensaje $m\in\{0,1,2,3\}$ sin errores.

Protocolo:

1. Alice y Bob comparten un ebit $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. En función del valor de $m\in\{0,1,2,3\}$, Alice aplica una puerta de Pauli $\{I,X,Y,Z\}$ a su parte del ebit compartido con Bob. Así, si definimos $U_0 = I$, $U_1 = X$, $U_2 = Y$ y $U_3 = Z$, el estado conjunto resultante después de aplicar esta transformación es $$\begin{align*} \delta_m^{AB} = \bigl(U_m \otimes I\bigr) \delta^{AB} \bigl(U_m^H \otimes I\bigr). \end{align*}$$

3. Alice transmite su parte del estado conjunto $\delta_m^{AB}$ a Bob mediante un único uso del canal cuántico, de forma que ahora Bob dispone del ebit completo: $$\begin{align*} \delta_m^{BB} = \bigl(U_m \otimes I\bigr) \delta^{AB} \bigl(U_m^H \otimes I\bigr). \end{align*}$$

4. El ebit $\delta_m^{BB}$ se encuentra en uno de $4$ posibles estados cuánticos: $$\begin{align*} \delta_{0}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],\quad \delta_{1}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \delta_{2}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &-1 & 0\\ 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \delta_{3}^{BB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$ Se puede comprobar que estas $4$ posibilidades son ortogonales entre sí, por lo que Bob puede realizar una medida para determinar el mensaje original $m$ sin errores utilizando el POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\bigr\}$ con $\Pi_{m} = \delta_m$, $m=0,1,2,3$.

Ejercicio 9.1 Utilizando un entorno de programación, genere los estados $\delta_m^{BB}$, $m=0,1,2,3$:

1. Compruebe que estos estados son ortogonales entre sí: $\text{Tr}\bigl[\delta_i^{BB} \delta_j^{BB}\bigr] = 0$ para $i\neq j$.

2. Obtenga las probabilidades de los posibles observables si aplicamos una medida con el POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\bigr\}$ al estado $\delta_3^{BB}$.

 Jupyter notebooks: Octave, Python

Con el esquema anterior, es posible transmitir un mensaje $m\in\{0,1,2,3\}$, correspondiente a 2 bits de información clásica, utilizando un ebit y un canal cuántico ideal. Por tanto, tenemos la jerarquía $$\begin{align*} [q \rightarrow q] + [qq] \;\geq\; 2[b \rightarrow b]. \end{align*}$$ concluimos que, aunque no es posible utilizar un ebit $[qq]$ para transmitir información clásica de forma independiente, sí que puede asistir a un canal cuántico ideal $[q \rightarrow q]$ duplicando su capacidad. Este esquema de transmisión se denomina habitualmente como codificación superdensa y es un sistema de comunicaciones cuántico no trivial que no tiene un equivalente clásico.

9.4 Teletransporte cuántico

El teletransporte cuántico (Bennett et al. 1993) es un protocolo de comunicaciones que permite transmitir información cuántica entre dos puntos separados en el espacio. Como hemos visto en la Sección 8.3, las reglas de la mecánica cuántica impiden clonar un estado cuántico, por lo que para poder transmitir la información cuántica, ésta debe ser destruida en su origen. Esta propiedad es la que motiva el nombre de “teletransporte”.

El esquema correspondiente aparece representado en la siguiente figura:

En este caso, Alice desea transmitir un estado cuántico $\mu$ a Bob utilizando un ebit compartido. Como hemos visto anteriormente, no es posible utilizar únicamente entrelazamiento para transmitir información. Sin embargo, si transmitimos también $2$ bits de información clásica por un canal auxiliar, existe un protocolo que “teletransporta” el estado $\mu$ desde Alice hasta Bob utilizando un ebit compartido.

Protocolo:

1. Alice y Bob comparten un ebit formado por $\rho^A$ y $\sigma^B$, descrito por el estado compuesto $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$

2. Alice tiene acceso al cúbit $\mu^A = \mu$ a transmitir y aplica una medida conjunta sobre $\mu^A$ y su parte $\rho^A$ del ebit compartido utilizando el POVM $\bigl\{\Pi_{0}, \Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\bigr\}$ visto en el protocolo de codificación superdensa, tal que $$\begin{align*} \Pi_{0} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],\quad \Pi_{1} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \Pi_{2} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &-1 & 0\\ 0 &-1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right],\quad \Pi_{3} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 &-1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]. \end{align*}$$ Para poder modelar esta medida, es necesario considerar el estado del sistema completo, dado por $$\begin{align*} \theta^{AAB} = \mu^A\otimes\delta^{AB}. \end{align*}$$ En la medida Alice observa un resultado $m\in\{0,1,2,3\}$, por lo que el estado conjunto pasa a ser $$\begin{align*} \theta^{AAB}_m = \frac{1}{p_m}\bigl( \Pi_{m} \otimes I_2\bigr) \theta^{AAB} \bigl( \Pi_{m}^H \otimes I_2\bigr). \end{align*}$$ La probabilidad de la medida es $p_m = \text{Tr}\bigl[ \bigl( \Pi_{m} \otimes I_2\bigr) \theta^{AAB} \bigr] = 1/4$, pero no afecta al proceso.

3. Alice envía el resultado de la medida $m\in\{0,1,2,3\}$ (equivalente a dos bits de información clásica) a Bob utilizando dos usos de un canal clásico ideal, por lo que Bob conoce a cuál de las 4 opciones ha colapsado el sistema.

4. En función del valor de $m$ recibido, Bob aplica una puerta de Pauli $\{I_2,X,Y,Z\}$ a su parte $\sigma^B$ del estado global $\theta^{AAB}_m$. Para modelar este proceso, definimos las matrices unitarias correspondientes al sistema completo: $$\begin{align*} &U_0^{AAB} = I_2 \otimes I_2 \otimes I,\quad &U_1^{AAB} = I_2 \otimes I_2 \otimes X,\\ &U_2^{AAB} = I_2 \otimes I_2 \otimes Y,\quad &U_3^{AAB} = I_2 \otimes I_2 \otimes Z, \end{align*}$$ y obtenemos el nuevo estado tras aplicar la transformación correspondiente $$\begin{align*} \phi^{AAB}_m = U_m^{AAB} \theta^{AAB}_m \bigl(U_m^{AAB}\bigr)^H,\quad m=0,1,2,3. \end{align*}$$

5. Como resultado de aplicar esta operación, la parte $\sigma^B$ del estado compuesto se transforma en el estado $\mu$ que se desaba transmitir. Para ver esto marginalizamos el estado compuesto $\phi^{AAB}_m$ por medio de la traza parcial $$\begin{align*} \sigma_m^B = \text{Tr}_{AA} \bigl[ \phi^{AAB}_m \bigr], \end{align*}$$ y se puede comprobar que $\sigma_m^B = \mu$.

Este resultado es en gran medida sorprendente, ya que habíamos visto que no es posible transmitir información cuántica utilizando únicamente entrelazamiento, ni utilizando únicamente un canal de comunicación clásico. Sin embargo, combinando estos recursos de una manera adecuada, el estado cuántico $\mu$ aparece en un lugar espacialmente separado de su localización original. Así, el teletransporte cuántico realiza la transmisión de un estado cuántico, y se tiene que $$\begin{align*} [qq] + 2 [b \rightarrow b] \;\geq\; [q \rightarrow q]. \end{align*}$$

Es interesante resaltar que el proceso descrito destruye el estado original, respetando así el teorema de la no clonación. Además, aunque el colapso es instantaneo cuando Alice aplica la medida en su parte del estado, el proceso de “teletransporte” está limitado por la velocidad de la luz al requerir la transmisión de los dos bits de información clásica resultantes de esta medida.

Ejercicio 9.2 Utilizando un entorno de programación matemática, simule el protocolo de teletransporte cuántico para transmitir el estado: $$\begin{align*} \mu = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/8\\ 1/8 & 1/4 \end{bmatrix}. \end{align*}$$

1. Compruebe que el estado de salida $\mu^B$ coincide con el estado original.

2. Compruebe que el estado original se ha destruido en el proceso.

 Jupyter notebooks: Octave, Python

Referencias

Bennett, Charles H., Gilles Brassard, Claude Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres, and William K. Wootters. 1993. “Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels.” Phys. Rev. Lett. 70 (March): 1895–99. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.70.1895.

Bennett, Charles H., and Stephen J. Wiesner. 1992. “Communication via One- and Two-Particle Operators on Einstein-Podolsky-Rosen States.” Phys. Rev. Lett. 69 (November): 2881–84. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.69.2881.