5 Sistemas cuánticos compuestos

El modelo descrito en las secciones anteriores permite describir un sistema cuántico binario y su medida. Así, podemos realizar predicciones para variables aleatorias binarias o algunos procesos cuánticos, como puede ser la polarización de un fotón. Sin embargo, la formulación presentada hasta ahora no permite describir varios estados que interaccionan entre sí, o expresado de otra forma, un sistema compuesto por varios sub-sistemas cuánticos. Un sistema cuántico compuesto se modela como un producto tensorial, o producto de Krönecker, de los sub-sistemas que lo componen.

5.1 Producto de Krönecker

Sean $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ dos matrices de dimensión $m\times n$ y $p \times q$. Se define su producto de Krönecker como $$\begin{align*} \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} \boldsymbol{B} & \cdots & a_{1n} \boldsymbol{B} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \boldsymbol{B} & \cdots & a_{mn} \boldsymbol{B} \end{bmatrix}. \end{align*}$$ Se puede ver que el resultado es una matriz compuesta por $m\times n$ bloques, donde en cada bloque aparece la matriz $\boldsymbol{B}$ multiplicada por el correspondiente coeficiente $a_{ij}$ de la matriz $\boldsymbol{A}$. Así, el resultado de $\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}$ es una matriz de dimensión $mp \times nq$.

Ejemplo 5.1 Si $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ son dos matrices de dimensión $2\times 2$ se tiene que $$\begin{align*} \boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} \end{bmatrix}. \end{align*}$$

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Propiedades

El producto de Krönecker es una operación bilineal, por lo que cumple las siguientes propiedades:

• $\boldsymbol{A} \otimes \bigl(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}\bigr) = \boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \otimes\boldsymbol{C}\qquad\qquad\quad$ (asociativa)
• $\bigl(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\bigr) \otimes \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{C} + \boldsymbol{B} \otimes\boldsymbol{C}\qquad\qquad\quad$ (asociativa)
• $\bigl(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}\bigr) \otimes \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} \otimes \bigl(\boldsymbol{B} \otimes \boldsymbol{C}\bigr)\qquad\qquad\quad\quad$ (distributiva)

Sin embargo, el producto de Krönecker no es conmutativo y, en general, $\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{B} \otimes \boldsymbol{A}$. Aunque no se cumple esta identidad, a partir de la definición del producto de Krönecker se observa que los elementos de $\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}$ se corresponden con una permutación de los elementos $\boldsymbol{B} \otimes \boldsymbol{A}$.

Otra propiedad muy útil que utilizaremos durante el curso es la propiedad del producto mixto, dada por

• $(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})\bigl(\boldsymbol{C} \otimes \boldsymbol{D}\bigr) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{C} \otimes\boldsymbol{B}\boldsymbol{D}\qquad\qquad\;\;$ (producto mixto)

A partir de la propiedad del producto mixto se puede deducir que

• $(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{A}^{-1} \otimes\boldsymbol{B}^{-1}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$ (inversa)
• $(\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B})^{H} = \boldsymbol{A}^{H} \otimes\boldsymbol{B}^{H}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\,$ (hermítica)

Finalmente, se debe notar que $\text{Tr}[\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}] = \text{Tr}[\boldsymbol{A}]\text{Tr}[\boldsymbol{B}]$. Por tanto, si $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ tienen traza unitaria, su producto de Krönecker también la tendrá.

5.2 Matriz de densidad de probabilidad compuesta

Las dimensiones de una matriz de densidad de probabilidad correspondiente a un sistema formado por $n$ sistemas cuánticos binarios serán $2^{n} \times 2^{n}$. Un sistema compuesto se modela entonces como una matriz $$\begin{align*} \delta = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,2^n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta_{2^n, 1} & \cdots & \delta_{2^n,2^n} \end{bmatrix}, \end{align*}$$ que cumple las mismas propiedades que en el caso binario: $$\begin{align*} \delta=\delta^H,\quad \delta\succeq 0 \quad \text{y} \quad \text{Tr}[\delta] = 1. \end{align*}$$

Para un sistema compuesto, a menudo utilizaremos subíndices o superíndices para indicar cuales son los sub-sistemas que los componen, y que así quede más claro en que parte del sistema estamos realizando una operación. Por ejemplo, usaremos $\delta^{AB}$ para indicar que el sistema está compuesto por los subsistemas $A$ y $B$, y $\rho^{A}$ y $\sigma^{B}$ para referirnos a las partes $A$ y $B$ del sistema compuesto.

Ejemplo 5.2 Sean dos estados cuánticos binarios e independientes (que nunca han interaccionado) definidos por las matrices de densidad de probabilidad $\rho^{A}$ y $\sigma^{B}$, ambas de dimensión $2\times 2$. Entonces la matriz de densidad de probabilidad del sistema conjunto es $$\begin{align*} \delta^{AB} = \rho^{A} \otimes \sigma^{B}. \end{align*}$$ La dimensión de $\delta^{AB}$ coincidirá con el producto de las dimensiones de $\rho^{A}$ y de $\sigma^{B}$, y será por tanto una matriz cuadrada de dimensión $4 \times 4$. A partir de los superíndices se puede identificar facilmente si el estado cuántico se corresponde al subsistema $A$, al subsistema $B$ o si está compartido entre ambos.

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El ejemplo anterior muestra la forma de la matriz de densidad de probabilidad asociada a un estado cuántico compuesto formado por dos dos estados cuánticos independientes. La relación entre los estados cuánticos que componen el sistema completo, permite establecer la siguiente clasificación.

Tipos de estados cuánticos compuestos

• Estado independiente: Se dice que dos sub-sistemas cuánticos $A$ y $B$ son independientes entre sí, si su estado conjunto $\delta^{AB}$ se puede descomponer como $$\begin{align*} \delta^{AB} = \rho^A \otimes \sigma^B. \end{align*}$$ Se puede observar que esta definición es análoga a la definición clásica de independencia: una distribución de probabilidiad es independiente si la probabilidad conjunta coincide con el producto de las marginales. Un estado compuesto independiente está formado por dos sub-sistemas que nunca han interaccionado y que se han generado de forma totalmente separada.

• Estado separable: Un estado conjunto $\delta^{AB}$ se denomina separable si se puede descomponer como $$\begin{align*} \delta^{AB} &= \sum_{x} P_X(x) \bigl( \rho_x^A \otimes \sigma_x^B \bigr), \end{align*}$$ Un estado compuesto separable se puede preparar en lugares físicamente separados con una fuente de aleatoriedad común, que queda representada por la distribución clásica $P_X$. Un estado independiente también es separable, ya que basta tomar $P_X(x)=1$ para $x=0$, y $P_X(x)=0$ para $x\neq 0$.

• Estado entrelazado: Un estado compuesto no separable se denomina entrelazado. Un estado entrelazado resulta de un proceso físico conjunto (aunque luego sus partes se pueden separar físicamente): no se puede generar a distancia sin una interacción física entre los dos subsistemas. Un estado entrelazado implica una conexión íntima entre los subsistemas que lo componen, y que resulta en una serie de propiedades cuánticas especiales y en gran medida sorprendentes.

Ejemplo 5.3 Alice y Bob comparten una fuente de aleatoriedad común, por ejemplo, comprobando en la TV el resultado del sorteo de la lotería nacional y viendo si ha salido un número par o impar:

• Si el resultado es par, Alice y Bob preparan los estados cuánticos $\rho_0^A$ y $\sigma_0^B$, respectivamente.
• Si el resultado es impar, en cambio, preparan los estados $\rho_1^A$ y $\sigma_1^B$.

Para un sorteo de la lotería no trucado, la probabilidad de un resultado par o impar es la misma y el estado cuántico compuesto del sistema formado por los sub-sistemas de Alice y Bob está dado por $$\begin{align*} \delta^{AB} = \frac{1}{2} \rho_0^A \otimes \sigma_0^B + \frac{1}{2} \rho_1^A \otimes \sigma_1^B. \end{align*}$$ Este estado es por tanto un estado separable y no está entrelazado.

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Ejemplo 5.4 Definimos varios estados compuestos importantes que usaremos durante el curso:

1. Estado máximamente mezclado: $$\begin{align*} \delta &= \frac{1}{4} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*}$$ Los sub-sistemas que componen este estado son independientes entre sí, ya que $$\begin{align*} \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \otimes \frac{1}{2} \left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \end{align*}$$

2. Estado con correlación máxima: $$\begin{align*} \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*}$$ Los sub-sistemas que componen este estado presentan una cierta correlación, pero no están entrelazados entre sí. Esto se puede ver con la siguiente descomposición: $$\begin{align*} \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right] \otimes \left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix}\right] + \frac{1}{2} \left[\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \otimes \left[\begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \end{align*}$$ por lo que se trata de un estado separable.

3. Estado máximamente entrelazado: $$\begin{align*} \delta &= \frac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*}$$ Este estado se corresponde a un estado puro, ya que $$\begin{align*} \delta &= \ket{\psi}\bra{\psi} \end{align*}$$ donde $\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(\ket{0} \otimes \ket{0} + \ket{1} \otimes \ket{1} \bigr)$, y no se puede descomponer como un estado independiente o mixto. Por tanto concluimos que éste es un estado entrelazado.

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5.3 Medida de un sistema cuántico compuesto

La medida de un sistema cuántico compuesto se realiza de forma análoga al caso binario, con la salvedad de que ahora se pueden definir más de dos observables. Para un proceso de medida con $L$ posibles resultados se define un operador de medida $$\begin{align*} \text{POVM} = \bigl\{\Pi_0, \Pi_2, \ldots,\Pi_{L-1}\bigr\}, \end{align*}$$ tal que $\Pi_{\ell}\succeq 0$ y $\sum_{\ell=0}^{L-1} \Pi_{\ell} = \boldsymbol{I}$. Aplicando este operador a un estado compuesto $\delta$ obtenemos uno (y solo uno) de los posibbles resultados $\ell\in \{0,\ldots,L-1\}$ con probabilidad $$\begin{align*} p_{\ell} = \text{Tr}[\Pi_{\ell} \delta]. \end{align*}$$ Además, al aplicar una medida se modifica el estado compuesto del sistema. El nuevo estado pasa a ser $$\begin{align*} \delta'_{\ell} &= \frac{\Pi_{\ell} \delta \Pi_{\ell}^H}{\text{Tr}[\Pi_{\ell} \delta]} &\text{(si el resultado ha sido ${\ell}$)},\\ \delta' &= \sum\nolimits_{\ell} p_{\ell} \delta'_{\ell} = \sum\nolimits_{\ell} \Pi_{\ell} \delta \Pi_{\ell}^H &\text{(si el resultado es desconocido)}. \end{align*}$$

Se debe tener en cuenta que cualquier proceso de medida se debe aplicar sobre el estado conjunto del sistema, incluso si la medida se realiza sobre sus partes, como veremos a continuación.

Medida bipartida

Consideremos un estado cuántico $\delta^{AB}$ compuesto por dos sub-sistemas $A$ y $B$. Un proceso de medida bipartida consiste en dos procesos de medida separados sobre los dos sub-sistemas que lo componen. Por ejemplo, podemos considerar un sistema con $2$ fotones, uno de los cuales se traslada al laboratorio de Alice y el otro al de Bob, donde ambos realizan su medida correspondiente:

Si Alice aplica un POVM $\{\Pi^{A}_{0}, \Pi^{A}_{1}\}$ y Bob un POVM (posiblemente diferente) $\{\Pi^{B}_{0}, \Pi^{B}_{1}\}$ en su parte, entonces el POVM compuesto sobre el estado conjunto está dado por $$\begin{align*} \bigl\{ \Pi_0^A \otimes \Pi_0^B,\;\; \Pi_0^A \otimes \Pi_1^B,\;\; \Pi_1^A \otimes \Pi_0^B,\;\; \Pi_1^A \otimes \Pi_1^B \bigr\}, \end{align*}$$ con 4 posibles observables:

1. El resultado de Alice es ‘$0$’ y el de Bob ‘$0$’, con probabilidad $\text{Tr}\bigl[ ( \Pi_0^A \otimes \Pi_0^B)\, \delta^{AB} \bigr]$.
2. El resultado de Alice es ‘$0$’ y el de Bob ‘$1$’, con probabilidad $\text{Tr}\bigl[ ( \Pi_0^A \otimes \Pi_1^B)\, \delta^{AB} \bigr]$.
3. El resultado de Alice es ‘$1$’ y el de Bob ‘$0$’, con probabilidad $\text{Tr}\bigl[ ( \Pi_1^A \otimes \Pi_0^B)\, \delta^{AB} \bigr]$.
4. El resultado de Alice es ‘$1$’ y el de Bob ‘$1$’, con probabilidad $\text{Tr}\bigl[ ( \Pi_1^A \otimes \Pi_1^B)\, \delta^{AB} \bigr]$.

Aunque los proyectores factorizan como un producto tensorial, el estado $\delta^{AB}$ no tiene por qué hacerlo, por lo que es necesario aplicar la medida sobre el estado completo. En cambio, para un estado independiente $\delta^{AB} = \rho^{A}\otimes\sigma^B$ el proceso de medida también factorizaría (por la propiedad del producto mixto) y las observaciones resultantes son estadísticamente independientes.

Medida parcial de un sistema

Consideremos un estado cuántico $\delta^{AB}$ compuesto por dos sub-sistemas $A$ y $B$, de tal forma que realizamos una operación de medida sobre uno de ellos. Por ejemplo, podemos considerar un sistema con $2$ fotones, de los cuales uno está en el laboratorio de Alice y el otro en el de Bob. Asumamos ahora que Alice aplica una medida sobre su fotón pero Bob no realiza ninguna operación en su parte, como muestra la siguiente figura:

La medida que aplica Alice está definida por el POVM $\bigl\{ \Pi_0^A, \Pi_1^A \bigr\}$, donde $\Pi_0^A$ y $\Pi_1^A$ son dos matrices de dimensión $2\times 2$. Entonces podemos construir una operación de medida sobre el estado compuesto $\delta_{AB}$ de la siguiente forma: $$\begin{align*} \bigl\{ \Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B,\; \Pi_1^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B \bigr\}, \end{align*}$$ donde $\boldsymbol{I}_2^B$ es una matriz identidad de de dimensión $2\times 2$.

Se puede ver que esta operación de medida está compuesta por dos partes. En la parte $A$ de Alice, el POVM aplica la medida correspondiente a $\Pi_0^A$ y $\Pi_1^A$, mientras que en la parte $B$, el hecho de que Bob no realice ninguna operación se modela aplicando la matriz identidad $\boldsymbol{I}_2^B$. Hay únicamente dos posibles resultados en el proceso de medida, que Alice mida $\Pi_0^A$ o que Alice mida $\Pi_1^A$.

De forma análoga, y como muestra la anterior figura, si es Bob el que aplica una medida $\bigl\{ \Pi_0^B, \Pi_1^B \bigr\}$ y Alice no realiza ninguna acción en su parte del estado cuántico compuesto, el POVM compuesto estaría dado por $$\begin{align*} \bigl\{ \boldsymbol{I}_2^A \otimes \Pi_0^B,\; \boldsymbol{I}_2^A \otimes \Pi_1^B \bigr\}, \end{align*}$$ también con dos posibles resultados.

Ejemplo 5.5 Consideremos dos estados cuánticos independientes $\rho^A$ y $\sigma^B$, con una matriz de densidad de probabilidad asociada $$\begin{align*} \delta^{AB} = \rho^A \otimes \sigma^B. \end{align*}$$ Asumamos que Alice realiza una medida con respecto a $\bigl\{ \Pi_0^A, \Pi_1^A \bigr\}$ en su parte del estado. Entonces, el POVM a aplicar al estado compuesto estaría dado por $$\begin{align*} \bigl\{ \Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B,\; \Pi_1^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B \bigr\}. \end{align*}$$ De acuerdo a las ecuaciones de medida de un sistema compuesto, se tiene que $$\begin{align*} p_{0} &= \text{Tr}\bigl[\bigl(\Pi_0^A \otimes \boldsymbol{I}_2^B\bigr)\delta^{AB}\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\bigl(\Pi_0^A \rho^A\bigr) \otimes \bigl(\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr)\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\Pi_0^A \rho^A\bigr] \text{Tr}\bigl[\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr]\\ &= \text{Tr}\bigl[\Pi_0^A \rho^A\bigr] \end{align*}$$ donde hemos utilizado la propiedad del producto mixto, la propiedad $\text{Tr}[\boldsymbol{A} \otimes \boldsymbol{B}] = \text{Tr}[\boldsymbol{A}]\text{Tr}[\boldsymbol{B}]$; y que $\text{Tr}\bigl[\boldsymbol{I}_2^B \sigma^B\bigr] = \text{Tr}\bigl[\sigma^B\bigr]=1$ ya que $\sigma^B$ se corresponde a un estado cuántico. De forma análoga, se tiene que $p_{1} = \text{Tr}\bigl[\Pi_1^A \rho^A\bigr]$. Concluimos que esta medida sobre estado conjunto independiente modela la medida sobre el sub-sistema $A$, como podríamos esperar.

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En el ejemplo anterior se puede ver que si el sistema compuesto está formado por estados cuánticos independientes, entonces una medida parcial es equivalente a medir uno de sus subsistemas permaneciendo los demás inalterados. Para un sistema separable o entrelazado, sin embargo, la medida de una de sus partes sí afecta a las demás. Para ver esto necesitamos definir el concepto de marginalización de un estado cuántico compuesto.

5.4 Marginalización: La traza parcial

En las secciones anteriores hemos visto como modelar la matriz de densidad de probabilidad de un sistema compuesto, así como el proceso de medida del mismo. Sin embargo, a veces solo nos interesa trabajar con una parte del sistema y queremos descartar el resto. Esto se realiza con la operación traza parcial. Mostramos esta operación para el caso de sistemas compuestos por dos estados cuánticos binarios, aunque se puede generalizar para sistemas de otras dimensiones.

Para una matriz de dimensión $4\times 4$, $$\begin{align*} \delta^{AB} &= \left[\begin{matrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} & \delta_{14} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} & \delta_{24} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} & \delta_{34} \\ \delta_{41} & \delta_{42} & \delta_{43} & \delta_{44} \end{matrix}\right] \end{align*}$$ definimos las operaciones $$\begin{align*} \text{Tr}_{A} \left[ \delta^{AB} \right] &= \left[\begin{matrix} \delta_{11} + \delta_{33} & \delta_{12} + \delta_{34} \\ \delta_{21} + \delta_{43} & \delta_{22} + \delta_{44} \end{matrix}\right],\\ \text{Tr}_{B} \left[ \delta^{AB} \right] &= \left[\begin{matrix} \delta_{11} + \delta_{22} & \delta_{13} + \delta_{24} \\ \delta_{31} + \delta_{42} & \delta_{33} + \delta_{44} \end{matrix}\right], \end{align*}$$ que descartan las partes $A$ y $B$ del sistema, respectivamente.

En general, para cualquier matriz $\delta^{AB}$, la traza parcial sobre $A$ es la suma de las submatrices de bloque diagonales, y la traza parcial sobre $B$ es la matriz en la que las submatrices de bloque son reemplazadas por sus traza. Esto se ilustra esquemáticamente en la siguiente figura:

En este punto, es normal preguntarse cómo se definen formalmente las operaciones $\text{Tr}_{A} \left[ \cdot \right]$ y $\text{Tr}_{B}\left[ \cdot \right]$ introducidas en esta sección, así cómo se generalizarían a un caso más general.

Consideremos una base ortonormal $\bigl\{ \ket{a} \bigr\}$ para la parte $A$ del sistema y la base $\bigl\{ \ket{b} \bigr\}$ correspondiente a la parte $B$ del sistema. Para una matriz $\ket{a_1}\bra{a_2} \otimes \ket{b_1}\bra{b_2}$, las operaciones de traza parcial sobre $A$ y sobre $B$ se definen respectivamente como $$\begin{align*} \text{Tr}_{A} \bigl[ \ket{a_1}\bra{a_2} \otimes \ket{b_1}\bra{b_2} \bigr] &= \text{Tr} \bigl[\ket{a_1}\bra{a_2}\bigr] \ket{b_1}\bra{b_2},\\ \text{Tr}_{B} \bigl[ \ket{a_1}\bra{a_2} \otimes \ket{b_1}\bra{b_2} \bigr] &= \ket{a_1}\bra{a_2} \text{Tr} \bigl[ \ket{b_1}\bra{b_2} \bigr], \end{align*}$$ y se extienden a un estado genérico $\delta^{AB}$ requiriendo que sean una operación lineal.

Para una matriz de densidad de probabilidad que modela un sistema cuántico compuesto, la operación de traza parcial es equivalente a la marginalización de una distribución conjunta de dos variables aleatorias clásicas. De hecho, para un estado cuántico compuesto formado por dos estados independientes, la traza parcial recupera estos estados independientes.

Ejemplo 5.6 Considere un sistema cuántico compuesto formado por dos estados independientes $$\begin{align*} \delta^{AB} = \rho^A \otimes \sigma^B = \left[\begin{matrix} \rho_{11}\sigma^B& \rho_{12}\sigma^B \\ \rho_{21}\sigma^B & \rho_{22}\sigma^B \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \rho_{11}\sigma_{11} & \rho_{11}\sigma_{12} & \rho_{12}\sigma_{11} & \rho_{12}\sigma_{12} \\ \rho_{11}\sigma_{21} & \rho_{11}\sigma_{22} & \rho_{12}\sigma_{21} & \rho_{12}\sigma_{22} \\ \rho_{21}\sigma_{11} & \rho_{21}\sigma_{12} & \rho_{22}\sigma_{11} & \rho_{22}\sigma_{12} \\ \rho_{21}\sigma_{21} & \rho_{21}\sigma_{22} & \rho_{22}\sigma_{21} & \rho_{22}\sigma_{22} \end{matrix}\right]. \end{align*}$$ Si descartamos la parte $A$ del sistema obtenemos $$\begin{align*} \text{Tr}_{A} \left[ \delta^{AB} \right] &= \left[\begin{matrix} \rho_{11}\sigma_{11} + \rho_{22}\sigma_{11} & \rho_{11}\sigma_{12} + \rho_{22}\sigma_{12} \\ \rho_{11}\sigma_{21} + \rho_{22}\sigma_{21} & \rho_{11}\sigma_{22} + \rho_{22}\sigma_{22} \end{matrix}\right] = \underbrace{\text{Tr}[\rho^A]}_{1} \left[\begin{matrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} \end{matrix}\right] = \sigma^B. \end{align*}$$ mientras que si descartamos la parte $B$ del mismo queda $$\begin{align*} \text{Tr}_{B} \left[ \delta^{AB} \right] &= \left[\begin{matrix} \rho_{11}\sigma_{11} + \rho_{11}\sigma_{22} & \rho_{12}\sigma_{11} + \rho_{12}\sigma_{22} \\ \rho_{21}\sigma_{11} + \rho_{21}\sigma_{22} & \rho_{22}\sigma_{11} + \rho_{22}\sigma_{22} \end{matrix}\right] = \underbrace{\text{Tr}[\sigma^B]}_{1} \left[\begin{matrix} \rho_{11} & \rho_{12} \\ \rho_{21} & \rho_{22} \end{matrix}\right] = \rho^A. \end{align*}$$

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De la misma forma que varias distribuciones conjuntas diferentes pueden tener la misma distribución marginal, varias matrices de densidad conjuntas pueden resultar en las mismas trazas parciales. Vamos a estudiar este punto en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 5.1 Obtenga $\rho^A = \text{Tr}_{B} \left[ \delta^{AB} \right]$ y $\sigma^B = \text{Tr}_{A} \left[ \delta^{AB} \right]$ para los siguientes estados.

1. Estado máximamente mezclado $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{4} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*}$$
2. Estado con correlación máxima $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*}$$
3. Estado con máximo entrelazamiento $$\begin{align*} \delta^{AB} = \dfrac{1}{2} \left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right] \end{align*}$$

Compare y explique los resultados obtenidos.

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