3 Estados cuánticos binarios

En ésta y en las siguientes secciones introduciremos un modelo matemático general para describir un sistema cuántico. Este modelo permite describir la polarización de un fotón, la medida del spin de un electrón, así como a muchos otros sistemas con propiedades cuánticas. Por tanto, con este modelo podremos abstraernos de la tecnología cuántica subyacente.

Para caracterizar un sistema con propiedades cuánticas, necesitamos modelar el estado cuántico, sus posibles transformaciones, y caracterizar matemáticamente una medida de este estado, así como el efecto de esta medida sobre el estado original.

3.1 Notación Bra-Ket

En el ámbito de la mecánica cuántica se utiliza una curiosa notación para representar los vectores. Esta notación se denomina notación de Dirac o notación bra-ket, y la usaremos durante el curso para modelar los estados cuánticos y sus transformaciones.

En esta notación tenemos que:

• Dado un vector columna $\boldsymbol{v}_a\in\mathbb{C}^{n}$ parametrizado por una variable $a$, se denota $\ket{a} = \boldsymbol{v}_a$.
• Dado un vector columna $\boldsymbol{v}_a\in\mathbb{C}^{n}$ parametrizado por una variable $a$, se denota $\bra{a} = \boldsymbol{v}_a^H$.

Así, $\ket{a}$ se corresponde a un vector columna, mientras que $\bra{a}=\ket{a}^H$ se corresponde a un vector fila. La expresión $\bra{a}$ se denomina de forma coloquial bra, mientras que $\ket{a}$ se denomina ket. El conjunto de ambas $\bra{a}\ket{a} \equiv \braket{a|a}$ se denomina bra-ket (por su similitud con la palabra inglesa bracket).

El símbolo matemático $\braket{\boldsymbol{a}|\boldsymbol{b}}$ se utiliza a menudo para representar el producto interior entre dos vectores $\boldsymbol{a}$ y $\boldsymbol{b}$. El producto interior para dos vectores complejos está dado por $$\begin{align*} \braket{\boldsymbol{a}|\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{a}^H \boldsymbol{b} \end{align*}$$ Así asociando $\bra{\boldsymbol{a}} \equiv \boldsymbol{a}^H$ y $\ket{\boldsymbol{b}} \equiv \boldsymbol{b}$ se definen el bra y el ket en la notación de Dirac. Además, si estos vectores dependen de un parámetro $a$ y $b$, respectivamente, y no hay posibilidad de confusión, a veces se utiliza simplemente la notación $\bra{a}$ y $\ket{b}$ para referirse a los mismos.

La notación de Dirac o bra-ket es muy compacta y visual. Para ilustrar este punto, consideremos los vectores $\boldsymbol{v}_a\in\mathbb{C}^{n}$ y $\boldsymbol{v}_b\in\mathbb{C}^{n}$, parametrizados por $a$ y por $b$, respectivamente. Entonces:

• El producto exterior de $\boldsymbol{v}_a$ y $\boldsymbol{v}_b$, dado por $\boldsymbol{v}_a \boldsymbol{v}_b^H \in\mathbb{C}^{n\times n}$ se corresponde a $\ket{a}\bra{b}\in\mathbb{C}^{n\times n}$.
• El producto interior de $\boldsymbol{v}_a$ y $\boldsymbol{v}_b$, dado por $\boldsymbol{v}_a^H \boldsymbol{v}_b \in\mathbb{C}$ se corresponde a $\braket{a|b} \in\mathbb{C}$.
• El sandwich de una matriz $\boldsymbol{M}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ entre los dos vectores queda $\bra{a}\boldsymbol{M}\ket{b}\in\mathbb{C}$.

Así, si las puntas de los ángulos de los bra y kets quedan hacia fuera, el resultado es un escalar. En cambio, si las barras verticales $|$ quedan en el exterior de la expresión, el resultado de la operación es una matriz de dimensión $n\times n$. Esto permite identificar de forma visual la dimensión del resultado de la operación.

Por otra parte, dado que la punta del ángulo se corresponde con la “parte escalar” del vector, el producto por una matriz $\boldsymbol{M}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ siempre se debe realizar por el lado correspondiente a la barra vertical, para que las dimensiones requeridas por el producto matricial sean las adecuadas. Por ejemplo, los productos matriciales $\boldsymbol{M}\ket{b} \in\mathbb{C}^{n\times 1}$ y $\bra{a} \boldsymbol{M} \in\mathbb{C}^{1 \times n}$ serían expresiones válidas, pero no serían válidas (ya que no encajan las dimensiones) los productos $\boldsymbol{M} \bra{a}$, o tampoco $\ket{b}\boldsymbol{M}$.

3.2 Estados cuánticos puros

Utilizando la notación bra-ket, definimos los vectores $$\begin{align*} \ket{0}= \biggl[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\biggr],\quad \ket{1}= \biggl[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\biggr], \end{align*}$$ que se corresponden con la base canónica del espacio de Hilbert de dimensión $2$.

Un estado binario puro general se puede escribir como $$\begin{align*} \ket{\psi} &= \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}. \end{align*}$$ Los parámetros $\alpha$ y $\beta$ son dos números complejos que se denominan amplitudes de probabilidad, que veremos que nos permitirán calcular las probabilidades de medida de este sistema. Estas amplitudes de probabilidad deben cumplir una cierta normalización y se tiene que $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$.

Este estado se conoce habitualmente como cúbit (o en inglés, qubit) y se corresponde al estado fundamental de la mecánica cuántica. En esta representación surge también el concepto de superposición, que indica que este sistema no se encuentra en el estado $\ket{0}$ o $\ket{1}$, sino en una superposición de ambos. Veremos este concepto en detalle a lo largo del curso.

Ejemplo 3.1 Un fotón polarizado linealmente con un ángulo $\theta$ se puede modelar como: $$\begin{equation*} \ket{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{bmatrix}. \end{equation*}$$ Vemos que el fotón se caracteriza como un vector de dimensión $2\times 1$ que depende del ángulo de polarización $\theta$. Entonces, un fotón polarizado linealmente se corresponde con un cúbit ya que para $\alpha=\cos(\theta)$ y $\beta=\sin(\theta)$, se tiene que $$\begin{align*} \ket{\psi} &= \cos(\theta) \ket{0} + \sin(\theta) \ket{1} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{bmatrix}. \end{align*}$$ Un fotón polarizado se puede interpretar como un vector con corrdenadas $\cos(\theta)$ y $\sin(\theta)$ en una cierta base ortonormal, tal y como representamos en la siguiente figura:

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Los estados cuánticos puros se corresponden con sistemas cuánticos que se encuentran en un estado definido, aunque como veremos, su medida puede producir resultados aleatorios. Para modelar sistemas los que no conocemos su estado de forma precisa, o que presentan cierta incertidumbre no asociada a la superposición, es necesario definir un modelo más general que presentamos a continuación.

3.3 Matriz de densidad de probabilidad

De forma general, vamos a describir el estado de un sistema cuántico con incertidumbre por medio de la denominada matriz de densidad de probabilidad. Para un estado cuántico binario esta matriz tiene dimensión $2 \times 2$ y está dada por: $$\begin{align*} \rho = \biggl[\begin{matrix}\rho_{11} & \rho_{12}\\ \rho_{21} & \rho_{22}\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Una matriz de densidad de probabilidad debe cumplir las siguientes propiedades:

• Semidefinida positiva, $\rho\succeq 0$.
• Auto-hermítica (a veces denominada simplemente hermítica), $\rho=\rho^H$.
• Traza unitaria, $\text{Tr}[\rho] = 1$.

Rigurosamente, un estado cuántico binario puro se define como un operador acotado en un espacio de Hilbert de dimensión $2$, y las matrices de densidad son una combinación probabilistica de estos estados. A efectos de este curso, simplemente identificaremos un estado cuántico con una matriz $\rho$ con las citadas propiedades.

Tipos de estados cuánticos

• Estado puro: Una matriz de densidad de probabilidad $\rho$ describe un estado puro si el rango de $\rho$ es $1$. La matriz de densidad de probabilidad de un estado puro $\ket{\psi}$, está dada por $\rho = \ket{\psi}\bra{\psi}$.

• Estado mixto: Decimos que un estado $\rho$ es mixto si no es puro, es decir, si el rango de $\rho$ es mayor que $1$. La matriz de densidad de probabilidad de un estado mixto se corresponde a una mezcla probabilística de un conjunto de estados puros $\bigl\{ \ket{\psi_x} \bigr\}$: $$\begin{align*} \rho = \sum_{x\in\mathcal{X}} p_X(x) \ket{\psi_x} \bra{\psi_x}. \end{align*}$$

• Estado clásico: Consideramos que un estado $\rho$ es clásico si es una matriz diagonal. Este estado representa una variable aleatoria binaria con probabilidades dadas por los elementos de la diagonal de $\rho$. Nótese que un estado clásico puede ser también puro o mixto.

Explicaremos en detalle estos tipos de estados con ejemplos concretos en las siguientes secciones.

3.4 Ejemplos de estados cuánticos

En primer lugar, vamos a tomar un bit clásico que toma los valores ‘0’ y ‘1’. Se puede asociar cada uno de estos valores a los dos vectores de la base canónica $\bigl[\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\bigr]$ y $\bigl[\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\bigr]$. Utilizando la notación bra-ket, tenemos que $$\begin{align*} \bra{0} = \ket{0}^H = [\begin{matrix}1 &0\end{matrix}],\\ \bra{1}= \ket{1}^H = [\begin{matrix}0 &1\end{matrix}]. \end{align*}$$

Bit determinista

Para un bit clásico en el estado ‘0’, definimos su matriz de densidad de probabilidad asociada como $$\begin{align*} \rho_0 = \ket{0} \bra{0} = \biggl[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ De forma análoga, para un bit en estado ‘1’, su matriz de densidad de probabilidad está dada por $$\begin{align*} \rho_1 = \ket{1} \bra{1} = \biggl[\begin{matrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Por tanto, para un bit clásico ‘0’ o ‘1’ sus matrices de densidad asociadas se corresponden con un estado puro, ya que tienen rango $1$, pero al mismo tiempo definen un estado clásico, ya que son matrices diagonales.

Variable aleatoria Bernoulli

Consideremos ahora una variable aleatoria binaria $X\in\{0,1\}$ que sigue una distribución de probabilidad Bernoulli con parámetro $p$, es decir $P_X(1) = p$ y $P_X(0) = 1-p$. La matriz de densidad de probabilidad de $X$ se corresponde a la mezcla de las matrices $\rho_0$ y $\rho_1$ definidas anteriormente: $$\begin{align*} \rho_X = (1-p) \rho_0 + p \rho_1 = \biggl[\begin{matrix}1-p & 0\\ 0 & p\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Así, una variable aleatoria tambien se puede representar como una matriz de densidad de probabilidad. En general, una matriz de densidad de probabilidad diagonal se corresponde con un estado clásico y la correspondiente distribución de probabilidad se encuentra en la diagonal de la matriz. Para $0<p<1$, se tiene que este estado es un estado mixto, ya que el rango de la matriz es igual a $2$.

Ejemplo 3.2 Consideremos el experimento de lanzar una moneda no trucada, y ocultar su resultado. Este experimento se corresponde con una distribución de probabilidad Bernoulli con parámetro $p= 1/2$. La matriz de densidad de probabilidad asociada a este experimento está dada por $$\begin{align*} \rho_X = \biggl[\begin{matrix}1/2 & 0\\ 0 & 1/2\end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Este es un estado mixto, ya que $\rho_X$ tiene rango $2 > 1$, y clásico, al ser $\rho_X$ una matriz diagonal.

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Un fotón polarizado linealmente

El Ejemplo 3.1 introduce el modelo para un fotón polarizado linealmente con un ángulo $\theta$: $$\begin{equation*} \ket{\theta} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{bmatrix}. \end{equation*}$$ La matriz de densidad de probabilidad asociada a ese estado puro está dada por $$\begin{align*} \rho = \ket{\theta} \bra{\theta} = \biggl[\begin{matrix} \cos(\theta)^2 & \cos(\theta)\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\sin(\theta) & \sin(\theta)^2 \end{matrix}\biggr]. \end{align*}$$ Se puede observar, que incluso si escogemos $p = \sin(\theta)^2 = 1- \cos(\theta)^2$, esta matriz no coincide con el estado $\rho_X$ definido en la sección anterior para una variable aleatoria clásica. Esto es porque una variable aleatoria clásica es fundamentalmente diferente de un sistema con propiedades cuánticas, incluso si tienen los mismos valores en la diagonal de su matriz de densidad.

Un fotón con incertidumbre

El paradigma que hemos estudiado permite modelar tanto un sistema que presenta incertidumbre (como una variable aleatoria clásica), como un sistema cuántico en un estado definido, tal y como puede ser un fotón con una polarización dada. Además, este modelo matemático permite modelar una combinación de estos dos efectos de forma simultánea, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.3 Modelamos un fotón con polarización lineal $\theta$ con el estado puro $\ket{\theta} = \bigl[\begin{smallmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{smallmatrix}\bigr]$. Consideremos un experimento que genera un fotón con una polarización bien $\ket{\pi/3}$ o $\ket{\pi/4}$, pero desconocemos cuál de ellas. Si las dos polarizaciones tienen la misma probabilidad, el estado resultante se corresponde con la mezcla probabilística de las matrices de densidad de cada posibilidad: $$\begin{align*} \rho = \frac{1}{2} \ket{\pi/3} \bra{\pi/3} + \frac{1}{2} \ket{\pi/4} \bra{\pi/4}. \end{align*}$$ Se puede comprobar que $\rho$ cumple las propiedades de una matriz de densidad de un sistema cuántico: $\rho\succeq 0$, $\rho=\rho^H$ y $\text{Tr}[\rho]=1$. Además en este caso, el estado resultante es un estado mixto, ya que el rango de $\rho$ es igual a $2 > 1$.

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